Различают чисто разделительные и разделительно-категорические умозаключения. Каждый из видов имеет несколько рабочих модусов, которые представлены в таблице.
Банк разделительных умозаключений.
Примеры разделительных умозаключений.
| Пример
| Название
| Чтение формулы
|
1.1. A É B, A ├ B
| Если у человека повышенная температура, он болен.
У человека повышенная температура.
Человек болен.
| modus ponens
| От утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) переходим к утверждению следствия (консеквента) этого высказывания:
Если А, то В. А. Следовательно, В.
|
1.2. A É B, Ø B ├ Ø A
| Если гелий — металл, он электропроводен.
Гелий неэлектропроводен.
Гелий — не металл.
| modus tollens
| Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.
|
1.3. A É B, B É C ├ A É C
| Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека.
| транзистивность импликации — B'
| Если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго — истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.
Если (если А, то В) и (если В, то С), то (если А, то С).
|
1.4. ├ (B É C) É ((A É B) É (A É C))
| Если верно, что вы хорошо разбираетесь в теоретическом материале, то вы легко выполняете практические задания, то посещая лекции вы хорошо разбираетесь в теоретическом материале и следовательно, посещая лекции легко выполняете практические задания.
| второй принцип транзистивности импликации — B
| Импликация, содержащая в качестве антецедента импликации, а в качестве консеквента импликацию импликаций с одинаковыми антецедентами, а консеквенты являются антецедентом и консеквентом первой импликации.
|
1.5. ├ (A É (A É B)) É (A É B)
| Если верно, что если по проводнику пустить ток, то благодаря этому току он нагреется, то, пустив ток, проводник нагревается.
| сокращение — W
|
|
1.6. ├ (A É (B É C)) É (B É (A É C))
| Если верно, что если ходишь на лекции, то, параллельно посещая семинары, получишь зачёт, то если ходить на семинары, то, параллельно посещая лекции, получишь зачёт.
| перестановка — C
|
|
1.7. ├ A É A
| Если трава зеленая, то она зеленая, если трава черная, то она черная.
| закон тождества — I
| Всякое высказывание влечет (имплицирует) само себя.
А в том и только том случае, если А.
закон тождества выражает тождество между понятием и суммой его признаков.(Кргу 1770-1842)
|
1.8. ├ A É (B É A)
| Если на улице светло, то светло из-за солнца.
| закон утверждения консеквента — K
| Импликация содержит в качестве консеквента импликацию, содержащую в качестве консеквента антецедент первой импликации.
|
1.9. ├ ((A É B) É A) É A)
| Если верно что, пуская ток, проводник нагревается благодаря этому току, то надо пустить ток.
| закон Пирса
| Импликация содержит в качестве антецедента импликацию, содержащую в качестве антецедента импликацию.
|
1.10. ├ (A É (B É C)) É ((A É B) É (A É C))
| Если верно, что если ходишь на лекции, то, параллельно посещая семинары, получишь зачёт, то если для семинаров необходимы записи лекций, то, посещая лекции, получишь зачёт.
| самодистрибутивность импликации — S
|
|
1.11. A & B ├ B & A
| Подул ветер, и деревья закачались.
| коммутативность конъюнкции
| А и В
|
1.12. A & (B & C) ├ (A & B) & C
| Пошел дождь, и пассажиры заняли свои места, и поезд тронулся.
| ассоциативность конъюнкции
| А и (В и С)
|
1.13. (A & B) É C ├ A É (B É C)
| Если верно, что если ходить на лекции и на семинары, то получишь зачет, то
если ходить на лекции, то, посещая семинары, получишь зачет.
| экспортация
| Импликация, содержащая в себе в качестве антецедента конъюнкцию, эквивалентна импликации содержащую в качестве антецедента Iч. конъюнкции в качестве консеквента импликации, где антецедент – член конъюнкции, а консеквент – к Iч. импликации
|
1.14. A É (B É C) ├ (A & B) É C
| Если верно, что если ходить на лекции, то, посещая семинары, получишь зачет если ходить на лекции и на семинары, то получишь зачет.
| импортация
| Импликация, содержащая в себе в качестве антецедента конъюнкцию эквивалентна импликации содержащую в качестве антецедента Iч. конъюнкции в качестве консеквента импликации где антецедент – член конъюнкции а консеквент – к Iч. импликации
|
1.15. A & B ├ A
| Есть возможность поехать поездом или полететь самолетом, мы не поехали поездом значит, мы полетели самолетом.
| удаление первого конъюнкта
| Исключение второго конъюнкта дает 1 член конъюнкции
|
1.16. A & B ├ B
| Есть возможность поехать поездом или полететь самолетом, мы не поехали поездом значит, мы полетели самолетом.
| удаление второго конъюнкта
| Исключение первого конъюнкта дает 2 член конъюнкции
|
1.17. A, B ├ A & B
| Есть лекции, есть семинары необходимо их одновременное выполнение.
| введение конъюнкции
| Объединение двух условий в конъюнкцию
|
1.18. A É (A Ú B)
|
| введение дизъюнкции
|
|
1.19. B É (A Ú B)
|
| введение дизъюнкции
|
|
1.20. A Ú B ├ B Ú A
| Он способен или он прилежен.
либо
Он прилежен или он способен.
| коммуникативность дизъюнкции
| Высказывание «A или В» истинно в том и только в том случае, когда истинно по крайней мере одно из составляющих его высказываний, и ложно, когда оба составляющие его высказывания ложны.
|
1.21. A Ú (B Ú C) ├ (A Ú B) Ú C
| Число может быть положительным или отрицательным или нулем, значит, число может быть положительным или отрицательным или нулем.
| ассоциативность дизъюнкции
| А или (В или С), значит, (А или В) или С.
|
1.22. A Ú B, Ø A ├ B
| На улице сейчас день или ночь, сейчас не день, значит, сейчас ночь.
| tollendo ponens
| А или В, не А, значит, В.
|
1.23. ├ (A & (B Ú C)) É ((A & B) Ú (A & C))
| Если на улице идет снег и на улице холодно или очень холодно, то либо на улице идет снег и холодно, либо на улице идет снег и очень холодно.
| законы дистрибутивности
| Если А и (В либо С), то (А и В), либо (А и С).
|
1.24. ├ (A Ú (B & C)) É ((A Ú B) & (A Ú C))
| Завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег тогда и только тогда, когда завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет солнечно или послезавтра будет снег.
| законы дистрибутивности
| Если А или (В и С), то (А, либо В) и (А, либо С).
|
1.25. ├ ((A & B) Ú (A & C)) É (A & (B Ú C))
| Если на улице не лето и идет снег или на улице не лето и холодно, значит, на улице не лето и идет снег или холодно.
| законы дистрибутивности
| Если ((А и В) или (А и С), значит, (А и (В или С).
|
1.26. ├ ((A Ú B) & (A Ú C)) É (A Ú (B & C))
| Если завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет солнечно или послезавтра будет снег, значит, завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег.
| законы дистрибутивности
| Если ((А или В) и (А или С)), значит, (А или (В и С)).
|
1.27. A É B, A É C ├ A É (B & C)
| Если животное – собака, то оно легко поддается дрессировке. Если животное – собака, то она«друг человека». Если это животное – собака, то оно легко поддается дрессировке, и оно является «другом человека».
| законы дистрибутивности
| А есть В, А есть С, значит, А есть В и С.
|
1.28. ├ (A Ú B) É ((A É B) É B)
| Если темно или село солнце, то, если бывает темно, только когда садится солнце, значит, оно село.
| дизъюнкция и конъюнкция
| Если (А и В), то ((А означает, что В), значит, В).
|
1.29. ├ ((A É B) É B) É (A Ú B)
| Если идет дождь, показывающий, что на улице сыро, значит, на улице сыро, то на улице сыро и идет дождь.
|
| Если ((А означает В), значит, В), то (А и В).
|
1.30. ├ ((A É B) É B) É ((B É A) É A)
| Если мне холодно говорит о том, что я мерзну, значит, я мерзну, то я мерзну, говорит о том, что мне холодно, значит, мне холодно.
|
| Если ((А означает В), значит, В), то ((В означает А), значит, А).
|
1.31. ├ Ø (A & Ø A)
| Неверно, что завтра будет дождь и завтра не будет дождя.
| закон противоречия
| Отрицание А и не А.
|
1.32. ├ A Ú Ø A
| Или я сижу, или я не сижу.
| закон исключенного третьего
| Или А, или не А.
«Истинность и ложность противоречащих предложений несовместима»
Вольф устанавливает следующее выражение для рг. exclusi tertii: «Propositionum contradictoriarum altera necessario vera» [4].
А есть или В, или non В.
Всякая вещь есть или А, или не А. А есть или b, или не b.
„за всяким субъектом один и тот же предикат можно или признавать, или отрицать" (Шопенгауэр
)
|
1.33. Ø Ø A Ú ├ A
| Если неверно, что это не телефон, значит это телефон.
| снятие двойного отрицания
| Отрицание не А эквивалентно А.
|
1.34. A ├ Ø Ø A
| Если это клавиатура, значит это не есть неклавиатура.
| введение двойного отрицания
| А эквивалентно отрицанию не А.
|
1.35. A É B, A É Ø B ├ Ø A
| Я сын папы, если я не сын папы, значит это не я.
| введение отрицания
|
|
1.36. Ø (A & B) ├ Ø A Ú Ø B
( ~ (p & q) = (~ p v ~q) )
| Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо.
| законы де Моргана
| отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний
неверно, что р и q, если и только если неверно р и неверно q
|
1.37. Ø A Ú Ø B ├ Ø (A & B)
~ (p v q) = (~ p & ~ q)
| Верно, что завтра не будет философии и не будет логики тогда, и только тогда, когда завтра не будет философии и логики.
| законы де Моргана
геометрии
| Дизъюнкция отрицаний А и В эквивалентна отрицанию конъюнкции А и В.
|
1.38. Ø (A Ú B) ├ Ø A & Ø B
| Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии.
| законы де Моргана
| отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции
отрицаний.
неверно, что или р, или q, если и только если неверно р и неверно q
|
1.39. Ø A & Ø B ├ Ø (A Ú B)
| Если сегодня не будет дождя и не будет снега, значит, сегодня не будет дождя или снега.
| законы де Моргана
| Конъюнкция отрицаний эквивалентна отрицанию дизъюнкции.
|
1.40. A É B ├ Ø A Ú B
|
| выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание
| Импликация эквивалентна дизъюнкции, содержащей отрицательный антецедент.
|
1.41. Ø A Ú B ├ A É B
|
| выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание
| Дизъюнкция, содержащая отрицательный антецедент эквивалентна импликации.
|
1.42. A É B ├ Ø (A & Ø B)
|
| выражение импликации через конъюнкцию и отрицание
| Импликация эквивалентна отрицательной конъюнкции с отрицательным консеквентом.
|
1.43. Ø (A & Ø B) ├ A É B
|
| выражение импликации через конъюнкцию и отрицание
|
|
1.44. A & B ├ Ø (A É Ø B)
|
| выражение конъюнкции через импликацию и отрицание
|
|
1.45. Ø (A É Ø B) ├ A & B
|
| выражение конъюнкции через импликацию и отрицание
|
|
1.46. Ø (A É B) ├ A & Ø B
|
| связь конъюнкции и импликации
|
|
1.47. A & Ø B ├ Ø (A É B)
|
| связь конъюнкции и импликации
|
|
1.48. Ø (A É B) ├ A É Ø B
|
|
|
|
1.49. A É B ├ Ø B É Ø A
|
| контрапозиция
|
|
1.50. Ø B É Ø A ├ A É B
| Проводник нагревается, если по нему течет ток. Если не течет ток, значит, проводник не нагревается.
| обратная контрапозиция
| Импликация отрицаний эквивалентна обратной импликации утверждений.
|
1.50.* (A & B) É C ├ (A & Ø C) É Ø B
| Если есть телевизор и ток в сети, значит, он показывает. Если есть телевизор и он не показывает, значит, нет тока.
| сложная контрапозиция
| Импликация, содержащая конъюнкцию в качестве антецедента эквивалентна импликации содержащей конъюнкцию элементов, которые являются отрицанием консеквента
|
1.51. A É C, B É C, A Ú ├ C
| Если есть истопленная печка, есть тепло. Если есть хорошие дрова, тоже будет тепло.
| простая конструктивная дилемма
|
|
1.52. A É C, B É D, A Ú B ├ C Ú D
| Пожар. Если идешь по коридору - отравишься дымом; если прыгать в окно – сломаешь ногу. Нужно либо в коридор, либо в окно. Следовательно, либо отравишься дымом, либо сломаешь ногу.
| сложная конструктивная дилемма
| Дизъюнкция антецедентов двух импликаций эквивалентна дизъюнкции их консеквентов.
|
1.53. A É B, A É C, Ø B Ú Ø C ├ Ø A
| Если есть огонь, то есть жар. Если есть огонь, то есть дым; Если нет ни жара ни дыма, значит нет огня.
| простая деструктивная дилемма
| Дизъюнкция отрицаний консеквентов двух импликаций эквивалентна отрицанию их общего антецедента.
|
1.54. A É B, D É C, Ø B Ú Ø C ├ Ø A Ú Ø D
| На улице светит солнце, значит солнечный день. Печка истоплена – дома будет тепло. Если на улице не светло или дома не тепло значит, на улице не светит солнце или печь не истопили.
| сложная деструктивная дилемма
| Дизъюнкция отрицаний консеквентов двух импликаций эквивалентна дизъюнкции отрицаний антецедентов.
|
1.55. ├ (A É B) Ú (B É A)
| Если Шамиль сильнее, то он победит Наджибулу. ИЛИ Если Наджибула сильнее, то он победит Шамиля.
| закон линейности
| Дизъюнкция прямой и обратной импликации.
|
1.56. ├ ((A É B) É (B É A)) É (B É A)
|
| закон линейности
| Импликация дизъюнкции прямой и обратной импликации и обратной импликации.
|
1.57. ├├ Ø A Ú Ø Ø A
| Либо нельзя хвалить, либо нельзя не похвалить.
| слабый закон исключенного третьего
| Дизъюнкция отрицания и двойного отрицания.
|
1.58. (A É (B É C)) ├ (B É (A É C))
| Если выборы состоятся, то если будет кандидат Сидоров, то я за него проголосую. Если кандидат Сидоров выдвинет свою кандидатуру, то если выборы состоятся, я за него проголосую.
| закон перестановки антецедентов
| Импликация, соединяющая в качестве консеквента другие импликации эквивалентные такой же импликации содержащей перестановку антецедентов.
|