Вычисление хеш-функции для строки S
Обозначим t – длина строки S
h:=0
DO (i=1,2,…,t)
h:=(h∙256+Si) mod m
OD
15.2 Метод прямого связывания
Рассмотрим метод устранения коллизий путем связывания в список всех элементов с одинаковыми значениями хеш-функции, при этом необходимо m списков. Включение элемента в хэш-таблицу осуществляется в два действия:
1) вычисление i=H(k)
2) добавление элемента k в конец i -того списка
Поиск элемента также требует два действия:
1) вычисление i=H(k)
2) последовательный просмотр i- того списка.
Пример. Составить хеш-таблицу для строки КУРАПОВА ЕЛЕНА. Будем использовать номера символов в алфавитном порядке. Пусть m =5,
H(k)=ORD (k mod 5)
Вычислим значения хэш-функции для символов строки
H (К)=11 mod 5=1
H (У)=20 mod 5=0
H (Р)=17 mod 5=2
H (А)=1 mod 5=1
H (П)=16 mod 5=1
H (О)=15 mod 5=0
H (В)=3 mod 5=3
H (Е)=6 mod 5=1
H (Л)=12 mod 5=2
H (Н)=14 mod 5=4
Объединим символы с одинаковыми хеш-номерами в один список
Рисунок 62 Хеш-таблица, построенная методом прямого связывания
Оценим трудоемкость поиска в хеш-таблице, построенной методом прямого связывания. Пусть n – количество элементов данных, m – размер хеш-таблицы. Если все ключи равновероятны и равномерно распределены по хеш-таблице, то средняя длина списка будет . При поиске в среднем нужно просмотреть половину списка. Поэтому Cср= . Если n<m, то Сср<2, т. е. в большинстве случаев достаточно одного сравнения. Объем дополнительной памяти определяется объемом памяти, необходимой для хранения (m+n) указателей. Известно, что трудоемкость поиска с помощью двоичного дерева: Сср=log n, объем дополнительной памяти – 2 n указателей. Метод прямого связывания становится более эффективным, чем дерево поиска, когда
|
|
,
Если n =1000, то при m >50 (m =53) метод прямого связывания более эффективен, чем дерево поиска, причем экономия памяти составит около 4 Кбайт. Можно сэкономить еще больше памяти, если отказаться от списков и размещать данные в самой хеш-таблице.
15.3 Метод открытой адресации
Рассмотрим метод открытой адресации, который применяется для разрешения коллизий при поиске с использованием хеш-функций. Суть метода заключается в последовательном просмотре различных элементов таблицы, пока не будет найден искомый ключ k или свободная позиция. Очевидно, необходимо иметь правило, по которому каждый ключ k определяет последовательность проб, т.е. последовательность позиций в таблице, которые нужно просматривать при вставке или поиске ключа k. Если мы произвели пробы и обнаружили свободную позицию, то ключа k нет в таблице. Таким образом, коллизия устраняется путем вычисления последовательности вторичных хеш-функций:
|
|
h0=h(x)
h1=h(x)+g(1) ( mod m)
h2=h(x)+g(2) ( mod m)
hi=h(x)+g(i) ( mod m)
Самое простое правило для просмотра – просматривать подряд все следующие элементы таблицы. Этот прием называется методом линейных проб, при этом g(i)=i, i =1,2,…, m -1. Недостаток данного метода – плохое рассеивание ключей (ключи группируются вокруг первичных ключей, которые были вычислены без конфликта), хотя и используется вся хеш-таблица.
Если в качестве вспомогательных функций использовать квадратичные, т.е. g(i)=i2, i =1,2,…, m -1, то такой способ просмотра элементов называется методом квадратичных проб. Достоинство этого метода – хорошее рассеивание ключей, хотя хеш-таблица используется не полностью.
Утверждение. Если m – простое число, то при квадратичных пробах просматривается по крайней мере половина хеш-таблицы.
Доказательство. Пусть i -ая и j -ая пробы, i<j, приводят к одному значению h, т.е. hi=hj. Тогда i 2 mod m = j 2 mod m
(j2 – i2) mod m =0
(j+i)(j-i) mod m =0
(j+i)(j-i) = km
i+j = km/(j-i)
Если m – простое число, то k/(j-i) – целое число больше нуля. В худшем случае k/(j-i) =1, тогда i+j=m и j>m/ 2. (Если m – не простое число, то k/(j-i) не обязательно должно быть целым).
На практике этот недостаток не столь существенен, т.к. m/2 вторичных попыток при разрешении конфликтов встречаются очень редко, главным образом в тех случаях, когда таблица почти заполнена.
Итак, нам нужно вычислять
h0=h(x)
hi=(h0+i2) mod m, i>0
Вычисление hi требует одного умножения и деления. Покажем, как можно избавиться от этих операций. Произведем несколько первых шагов при вычислении hi.
h1=h0+ 1
h2=h0 +4= h0+ 1+3= h1 +3 (mod m)
h3=h0 +9= h0 +4+5= h2 +5 (mod m)
…
Нетрудно видеть, что возникает рекуррентное соотношение:
d0 =1, h0=h(x)
hi+1 = hi+di (mod m)
di+1=di +2
Поскольку hi<m, di<m, то можно избавиться от деления, заменив его вычитанием h=h-m (см. алгоритм).