И их количественная оценка

Существует два подхода к анализу надежности – априорный и апостериорный.

В априорном (т.е. на основе гипотезы) анализе количественные характеристики надежности определяются на основе математической модели отказов, времени безотказной работы системы, соответствующих функций распределения. При этом математическим аппаратом анализа является в основном теория вероятности и теория массового обслуживания [7]. Достоверность получаемых при этом результатов определяется главным образом степенью соответствия избранной модели действительности.

Апостериорный (т.е. по фактическим результатам) анализ надежности оперирует с количественными характеристиками, установленными по результатам испытаний системы (элементов). Математическим аппаратом в этом случае является статистика. Достоверность результатов зависит от объема статистической выборки, увеличение которой всегда сопряжено с дополнительными затратами. Чаще всего анализ надежности производится на основе комплексного метода, суть которого сводится к следующему.

Полагается известной функция распределения отказов. Входящие же в нее параметры, а также необходимые поправочные коэффициенты определяются статистически по результатам ограниченного эксперимента (конечная выборка).

Критерии надежности строительных процессов.

Основными критериями (характеристиками) надежности являются:

1. P(t) – вероятность безотказной работы системы или её элемента в течение времени t;

2. Q(t) - вероятность отказа в течение времени t;

3. a(t) – частота отказов или доля отказавших за единицу времени элементов при условии, что они не заменяются исправными;

4. w(t) – средняя частота отказов или доля отказавших за единицу времени элементов при условии замены отказавших элементов исправленными;

5. – интенсивность отказов или доля отказавших за единицу времени элементов по отношению к среднему числу исправно работающих в данный отрезок времени, если замена отказавших элементов исправными не производится;

6. T – среднее время безотказной работы;

7. t_ср – наработка на отказ или среднее время между соседними отказами при условии восстановления каждого отказавшего элемента.

Рассмотрим порядок вычисления перечисленных характеристик надежности, используя априорный и апостериорный методы анализа. Тогда первая из них найдется следующим образом:

,

где

N_o – число однородных элементов в начале испытания;

n(t) – количество отказавших за время t элементов.

Зная вероятность безотказной работы P(t), можно легко найти вероятность отказа за время t следующим образом:

Из теории вероятностей известно, что вероятность отказа Q(t) является интегральной функцией распределения времени работы T₁ до отказа, т.е.

Тогда плотность распределения времени работы T₁ до отказа будет равна:

Частота отказов a(t) найдется из выражения

где

n(t) – число элементов, отказавших в интервале времени (от до ).

N₀ – число однородных элементов в начале испытаний.

Из теории вероятностей известно также, что частота отказов есть плотность распределения времени T₁ до отказа, т.е. .

Тогда

Таким образом, зная частоту отказов a(t), можно всегда определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t).

Интенсивность отказов

Если на момент времени t имелось N₀ элементов, а в интервале от до вышло из строя n(t) элементов, то

Тогда

или, с учетом формулы для определения P(t) после преобразования получим

окончательно

Если известна интенсивность отказов то для определения a(t) в теории вероятностей получена следующая формула:

Средняя частота отказов

Причем N₀=const, т.е. в соответствии с определением w(t) все отказавшие элементы заменяются исправными.

Получение выражения для w (t) в вероятностной форме достаточно сложно. Поэтому примем лишь во внимание следующее соотношение:

w (t)>= (t)>=a(t)

Среднее время безотказной работы

где

t_i – время безотказной работы i-го элемента;

N₀ – количество элементов, участвующих в испытаниях.

Наработка на отказ

,

где

n – число отказов;

t_i – время исправной работы между (i-1) и i-ым отказами.

Порядок вычисления количественных характеристик надежности на основе статистических данных испытаний элементов можно проследить на следующем примере.

Пример 4. Испытанию на сжатие подверглись N₀=1000 образцов грунта с целью определения их длительной прочности (выносливости). Общая длительность испытаний составила 3000 часов, причём выход из строя (отказы) элементов n_i фиксировался через каждые t_i=100 часов. Данные испытаний приведены в таблице 8. Требуется вычислить статистические характеристики надежности P(t), a(t), (t).

Табл.8

ti, ч	ni, эл-тов	P(t), 1/ч	a(t), 1/ч	(t), 1/ч	ti, ч	ni, эл-тов	P(t), 1/ч	a(t), 1/ч	(t), 1/ч
0-100		0,950	0,5C10-3	0,514C10-3	1500-1600		0,672	0,13	0,192
100-200		0,910	0,40	0,430	1600-1700		0,659	0,13	0,195
200-300		0,878	0,32	0,358	1700-1800		0,646	0,13	0,200
300-400		0,853	0,25	0,289	1800-1900		0,632	0,14	0,220
400-500		0,833	0,20	0,238	1900-2000		0,620	0,12	0,192
500-600		0,816	0,17	0,206	2000-2100		0,608	0,12	0,195
600-700		0,800	0,16	0,198	2100-2200		0,595	0,13	0,217
700-800		0,784	0,16	0,202	2200-2300		0,583	0,12	0,204
800-900		0,769	0,15	0,193	2300-2400		0,570	0,13	0,225
900-1000		0,755	0,14	0,184	2400-2500		0,556	0,14	0,248
1000-1100		0,740	0,15	0,200	2500-2600		0,540	0,16	0,290
1100-1200		0,725	0,14	0,191	2600-2700		0,520	0,20	0,376
1200-1300		0,712	0,14	0,195	2700-2800		0,495	0,25	0,490
1300-1400		0,699	0,13	0,184	2800-2900		0,465	0,30	0,624
1400-150017		0,685	0,14	0,202	2900-3000		0,425	0,40	0,900

Для наглядности покажем пример необходимых вычислений, пользуясь уже известными формулами. Тогда

……………………

Величины a(t) и (t) в соответствии с их смыслом будем вычислять, относя величины n_i к середине соответствующего промежутка t_i.

Тогда

10^-3 1/ч

10^-3 1/ч

………………

10^-3 1/ч

10^-3 1/ч

10^-3 1/ч

………………………..

10^-3 1/ч

Если найденные значения P(t), a(t), (t) нанести на соответствующую координатную сетку, то получатся характерные кривые зависимости этих характеристик от времени (рис. 12)

Рис.12. График зависимости характеристик P, a, от времени

Следует отметить, что характер кривой (t) на графике является типичным для интенсивности отказов. В начальный период до момента t₀ (t) велико вследствие так называемых приработочных, т.е. ранних отказов, вызванных зачастую дефектами производственного изготовления. Затем, до момента t₁ (t) const. В дальнейшем, вследствие износа элементов (t) нарастает.

Из полученных табличных данных следует, что вероятность безотказной работы рассматриваемых элементов или устройств в течение 3000 часов 0,425. Однако, насколько можно доверять этому показателю, т.е. какова его достоверность, остается неясным, потому что не учитывается статистический закон распределения времени возникновения отказов. А это в свою очередь связано со знанием статистических моделей, используемых в теории надежности.