Можно показать, что разностные схемы указанного типа выражают законы сохранения массы, импульса и полной энергии на сетке. Поэтому в целом разностная схема метода крупных частиц является дивергентно-консервативной.
Рассмотрим вначале вопрос о сохранении массы. Полная масса жидкости, заключенная в указанной области, равна
(1) |
Выражение слева представляет собой массу жидкости в рассматриваемой области на слое . Первый член справа представляет собой аналогичную массу на слое , а второй член равен изменению массы за время . Потоки массы через правую границу для ячейки (I, j) и левую для ячейки (i+1, j) вычисляются так, что они равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому в (1) все значения внутри поля течения взаимно уничтожаются, и мы получим
(2) |
Таким образом, выражение (2) утверждает, что изменение массы в области определяется изменением массы на границе, что означает выполнение закона сохранения массы. Аналогичные выкладки имеют место и для законов сохранения импульса и энергии. Эти величины за время изменяются дважды: сначала на эйлеровом, а потом на заключительном этапах. На эйлеровом этапе изменения энергии и импульса равны соответственно
|
|
(3) |
Заменяя значения и их выражениями, найденными на эйлеровом этапе, получим:
(4) | |
(5) |
Здесь , - компоненты импульса соответственно вдоль осей х и у. Как и в (1), все величины в правой части(5), кроме граничных, встречаются дважды с различными знаками, и в результате будем иметь:
(6) | |
(7) |
Рассуждая подобным образом, получим, что и на заключительном этапе внутренние точки поля вклада в изменение и не дают – это изменение осуществляется только за счет границ, следовательно:
(8) | |
(9) |
Общее изменение энергии и импульса за время равно сумме этих изменений на эйлеровом и заключительном этапах. Поэтому внутри области течения имеет место также строгое сохранение величин и Таким образом, показано, что выполняются разностные законы сохранения массы, импульса и полной энергии. Поэтому в целом разностная схема является дивергентной и консервативной (дивергентно-консервативной).