Если и дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой
равномерно сходится к точному с погрешностью при
Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной
имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации
Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:
, (2.42)
, (2.43)
i = 1, 2,..., n.
Погрешность формулы (2.42) выражается так:
то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:
(2.44)
Где .
Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты
|
|
(2.45)
Затем определяют коэффициенты по следующим рекуррентным формулам:
(2.46)
Обратный ход начинается с нахождения :
(2.47)
После этого находим по формулам:
, (2.48)
. (2.49)
Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при
и ,
и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место