Задание лабораторной работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями.

2. Выполнить решение примера.

3. Решить задачи для самостоятельной работы.

ЗАДАЧА 1 (пример)

Построить на плоскости множество решений (многоугольник) системы линейных ограничений-неравенств и геометрически найти максимальное и минимальное значение линейной функции в этом многоугольнике (x₁ ³0, x₂ ³0).

Решение

Заданная экономико-математическая модель является моделью задачи линейного программирования, которое содержит лишь две переменные, и потому может быть разрешима графически.

Первый шаг согласно графическому методу заключается в геометрическом изображении допустимых планов задачи, т.е. в определении такой области, где вместе с тем выполняются все ограничения модели. Заменим знаки неравенств на знаки строгих равенств и построим графики соответствующих прямых (рис.1.1.).

Рисунок 1.1

Каждая из построенных прямых разделяет плоскость системы координат на две полуплоскости. Координаты точек одной из полуплоскостей удовлетворяют рассматриваему неравенству, а другой - нет. Чтобы определить необходимую полуплоскость (на рис.1.1 ее направление обозначено стрелкой), нужно взять любую точку и проверить, удовлетворяют ли ее координаты указанному ограничению. Если удовлетворяют, то полуплоскость, в которой содержится выбранная точка, является геометрическим изображением неравенства. Иначе, таким изображением является другая полуплоскость.

Условие неотрицательности переменных х ₁ ≥ 0, х ₂ ≥ 0 ограничивает область допустимых планов задачи первым квадрантом системы координат. Пересечение всех полуплоскостей определяет область допустимых планов задачи — шестиугольник OABCDE. Координаты любой его точки удовлетворяют системе ограничений задачи и условию неотрицательности переменных. Поэтому поставленнуя задача будет разрешима, если мы сможем отыскать такую точку многоугольника OABCDE, в которой целевая функция Z набирает максимальное и минимальное значения.

Для этого построим вектор , координатами которого являются коэффициенты при переменных в целевой функции задачи. Вектор всегда исходит из начала координат и направлен к точке с координатами (х ₁ = с ₁; х ₂ = с ₂). В нашей задаче вектор . Он задает направление увеличения значений целевой функции Z, а вектор, противоположный ему, — направление их уменьшения.

Построим линию, которая отвечает, например, значению Z =0. Это будет прямая 50 х ₁ + 30 х ₂ = 0, которая перпендикулярна к вектору и проходит через начало координат. Поскольку в данном примере необходимо определить наибольшее значение целевой функции, то будем передвигать прямую 50 х ₁ + 30 х ₂ = 0 параллельно самой себе согласно направлению вектора до тех пор, пока не определим вершину многоугольника, которая соответствует оптимальному плану задачи.

На рис.1.1 видно, что последней общей точкой прямой целевой функции и многоугольника OABCDE есть точка С. Координаты этой точки являются оптимальным планом задачи.

Координаты точки С являеются решением системы уравнений

(1.1)

(1.2)

отсюда имеем: х ₁ = 50; х ₂ = 60.

Итак,

Исходя из аналогичных соображений, находим, что , х₁ = 0; х₂ = 0.

Постановка задачи и решение проблемы с помощью надстройки "Поиск решения"

Надстройка "Поиск решения" является частью набора команд, которые иногда называют средствами анализа "что-если" (Анализ «что-если». Процесс изменения значений ячеек и анализа влияния этих изменений на результат вычисления формул на листе, например изменение процентной ставки, используемой в таблице амортизации для определения сумм платежей.). С помощью этой надстройки можно найти оптимальное значение (максимум или минимум) формулы (Формула. Совокупность значений, ссылок на другие ячейки, именованных объектов, функций и операторов, позволяющая получить новое значение. Формула всегда начинается со знака равенства (=).), содержащейся в одной ячейке, называемой целевой, с учетом ограничений на значения в других ячейках с формулами на листе. Надстройка "Поиск решения" работает с группой ячеек, называемых ячейками переменных решения или просто ячейками переменных, которые используются при расчете формул в целевых ячейках и ячейках ограничения. Надстройка "Поиск решения" изменяет значения в ячейках переменных решения согласно пределам ячеек ограничения и выводит результат в целевой ячейке.

Примечание В более ранних версиях надстройки "Поиск решения" ячейки переменных решения назывались изменяемыми или регулируемыми.

Загрузка надстройки "Поиск решения"

"Поиск решения"(Solver) — это надстройка (Надстройка. Вспомогательная программа, служащая для добавления в Microsoft Office специальных команд или возможностей.) Microsoft Excel, которая становится доступной при установке Microsoft Office или Microsoft Excel. Однако чтобы использовать эту надстройку в Excel, необходимо сначала загрузить ее в 2010 версии Microsoft Excel надо:

1.Откройте вкладку Файл и выберите пункт Параметры.

2.Выберите команду Надстройки, а затем в поле Управление выберите пункт Надстройки Excel.

3.Нажмите кнопку Перейти.

4.В окне Доступные надстройки установите флажок Поиск решения и нажмите кнопку ОК.

1. Совет. Если надстройка Поиск решения отсутствует в списке поля Доступные надстройки нажмите кнопку Обзор, чтобы найти ее.

2.Если появится сообщение о том, что надстройка "Поиск решения" не установлена на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить ее.

3.После загрузки надстройки "Поиск решения" в группе Анализ на вкладки Данные становится доступна команда Поиск решения.