Механические колебания и волны

• Уравнение гармонических колебаний:

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t — время; А, ω, φ — соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний; — фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота колебаний:

, или ,

где ν и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания:

.

• Ускорение при гармоническом колебании

.

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле:

где А 1и А 2 амплитуды составляющих колебаний; φ 1 и φ 2— их начальные фазы.

• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы:

.

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν 1 и ν 2,

.

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A 1 и A 2 и начальными фазами φ 1 и φ 2:

.

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки:

, или ,

где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы ().

• Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник):

,

где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

,

где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

,

где J — момент инерции колеблющегося тела относительно осиколебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; — приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити:

,

где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; K — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
или ,

где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания: ; ω 0— собственная угловая частота колебаний .

• Уравнение затухающих колебаний:

где A(t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.

• Угловая частота затухающих колебаний:

.

• Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

,

где А 0 амплитуда колебаний в момент t =0.

• Логарифмический декремент колебаний:

,

где A(t) и A(t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

или ,

где — внешняя периодическая сила, действующая наколеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденныеколебания; F0 ее амплитудное значение; .

• Амплитуда вынужденных колебаний:

.

• Резонансная частота и резонансная амплитуда:

и .



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: