Теорема. Если х1, x2, …, xn – координаты вектора в базисе , , …, ; х1¢, x2¢, …, xn¢ - координаты того же вектора в базисе , , …, , то
Х = Т Х¢, (3)
где
Х = , Х¢ = ,
Т – матрица перехода от базиса , , …, к базису
, , …, .
Замечание. Формулы (3) выражают старые координаты х1, x2, …, xn вектора через его новые координаты. Для того, чтобы получить формулы, выражающие новые координаты через старые, достаточно умножить равенство (3) на матрицу Т-1; после простых преобразований получим: Х¢ = Т-1 Х.