Пример 1. Выяснить, является ли линейным векторным пространством множество R2 всех геометрических векторов, концы которых лежат в первой четверти системы координат.
Решение. Проверим выполнение операций сложения и умножения на число.
В результате сложения двух векторов мы получим вектор, конец которого тоже лежит в первой четверти. При умножении вектора на число a < 0 мы получим вектор, конец которого будет лежать в третьей четверти. Операция умножения на число не выполнена. Значит, данное векторное пространство не является линейным.
Пример 2. В базисе В = (, , ) заданы векторы
= + , = + , = + , = - + 2 + . Доказать, что система В¢ = (, , ) – базис и найти координаты вектора в базисе В¢.
Решение. Выпишем координаты векторов , , , в исходном базисе В = (, , ) в виде матриц - столбцов:
Е¢1 = ; Е¢2 = ; Е¢3 = ; X = .
Убедимся, что векторы , , образуют базис. Составим матрицу А из координат этих векторов и найдем ее ранг.
А = ~ ~ Þ ranq А = 3.
Ранг матрицы равен числу векторов, значит, эти векторы линейно независимы и образуют базис. Матрица А является матрицей перехода ТВ ® В¢ от базиса В к базису В¢ или матрицей линейного преобразования:
|
|
ТВ ® В¢ = .
Запишем разложение вектора по базису В¢ в векторной и матричной формах:
= a + b + g ,
X = ТВ ® В¢ ×X¢,
где X¢ = -матрица-столбец координат вектора в базисе В¢.
Находим искомую матрицу Х¢ с помощью обратного преобразования:
Х¢ = (ТВ ® В¢)-1 × X – формула преобразования координат при преобразовании базиса
Х¢ = × = ,
то есть = 2 - .
Пример 3. Даны два линейных преобразования:
,
Найти линейное преобразование, выражающее вектор ² через вектор .
Решение. Запишем матрицы линейных преобразований:
Х¢ = , A = , X = ,
X² = , B = .
В матричной форме линейные преобразования запишутся так:
Х¢ = А Х, X² = B × X¢.
Подставим во второе равенство выражение Х¢ из первого, получим
X² = В × А × Х.
Матрица С = В × А будет являться матрицей искомого линейного преобразования
С = В × А = = .
Следовательно, искомое преобразование таково:
.
Пример 4. Найти матрицу перехода (матрицу линейного преобразования) ТВ®В¢, если базис В¢ = (, ) получен зеркальным отображением от вектора базиса В = (, ).
Решение. Найдем координаты векторов и в базисе
В = (, ), (см. рисунок):