Метод Эйлера (метод ломаных)

Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка:

u ^/(x) = f (x, u(x)), x ₀ ≤ x ≤ x _max, u (x ₀) = u ₀. (3)

В окрестности точки x ₀ функцию u (x) разложим в ряд Тейлора:

(4)

Идея этого и последующих методов основывается на том, что если f (x, u) имеет q непрерывных производных, то в разложении можно удержать члены вплоть до O (h ^q+1), при этом стоящие в правой части производные можно найти, дифференцируя (3) требуемое число раз. В случае метода Эйлера ограничимся только двумя членами разложения.

Пусть h – малое приращение аргумента. Тогда (4) превратится в

Так как в соответствии с (3) u ^/(x ₀) = f (x ₀, u ₀), то .

Теперь приближенное решение в точке x ₁ = x ₀ + h можно вновь рассматривать как начальное условие, т.е. организуется расчет по следующей рекуррентной формуле:

(5),

где y ₀ = u ₀, а все y _k – приближенные значения искомой функции (см. рисунок). В методе Эйлера происходит движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге касательная находится уже для новой интегральной кривой (что и дало название методу – метод ломаных), таким образом ошибка будет возрастать с отдалением x от x ₀.

При приближенное решение сходится к точному равномерно с первым порядком точности. То есть, метод дает весьма низкую точность вычислений: погрешность на элементарном шаге h составляет ½ h ² y ^//(½(x _k + x _k+1)), а для всей интегральной кривой порядка h ¹. При h = const для оценки апостериорной погрешности может быть применена первая формула Рунге, хотя для работы метода обеспечивать равномерность шага в принципе не требуется.