Формальное определение абстрактной системы

Введем, прежде всего, следующие исходные понятия:

1. Системой (абстрактной) S называется отношение над абстрактными множествами Х и У:

2. Если S — функция, S: Х -> У, мы будем называть систему функциональной.

Для простоты мы будем писать просто “система” без указания на то, является ли она функциональной, когда это свойство несущественно или когда оно вытекает из контекста.

Входящие в определение системы множества Х и У характеризуют входные и выходные объекты и называются соответственно входным и выходным множествами, а их элементы — входами и выходами. Таким образом, представление системы в виде отношения есть представление в форме “вход — выход”. Входы функциональной системы могут рассматриваться как причины, а выходы как следствия;
Рассмотрим разностное уравнение

(1)

описывающее некоторые наблюдения, которые проводятся в дискретные моменты времени Т = {1, 2..... п}. Для заданного начального условия y₀ каждому набору из п чисел х = (xa= ₁,..., x_n RÎ) _n соответствует единственный набор у = (y₁,.... y_n RÎ) _n, который удовлетворяет уравнению (1) для каждого k = 1,.... п. Таким образом, определено отображение S_a: Rⁿ->Rⁿ, такое, что для всех х из Rⁿ-образ у = S_a (x) является единственным решением уравнения (1) при заданном начальном условии у₀. Если допустимые начальные условия образуют множество Ya= ₀ RÍ R, мы получаем отношение S Íⁿ* Rⁿ SÈ, причем S = _a RÍ. Таким образом, приведенное выше уравнение описывает и общем случае систему S ⁿ* Rⁿ и, в частности, определяет функциональную систему S_a, когда задано начальное условие y₀.a=

Рассмотрим простую динамическую систему:

Обозначим коэффициент упругости невесомой пружины через k, смещение тела массы т из положения равновесия в момент времени t — через у'' (t), а внешнюю силу, действующую на тело в момент времени t, через х (t). Предположим, что трение отсутствует. Тогда связь между х (t} и у (t) задается следующим дифференциальным уравнением:

my'' (t) = x(t) - ky(t) (2)

TÎ Y, такое, что для каждого t Î Х соответствует единственным образом определённое у Î = (у (0), у' (0)) каждому х a). Пусть Х — множество всех интегрируемых вещественных функций, определенных на Т, а Y — множество всех вещественных функций на Т. Тогда для заданных начальных условий ¥Предположим, что мы наблюдаем х (t) и у (t) в интервале времени Т= [0,