Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции в точке
Производная функции, заданной параметрически
Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы
задают параметрическое представление функции одной переменной.
Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:
где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:
Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:
Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:
Задание. Найти вторую производную для функции заданной параметрически.
Решение. Вначале находим первую производную по формуле:
Производная функции по переменной равна:
производная по :
Тогда
Вторая производная равна
Ответ.