Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ).Здесьчерез обозначенонекотороемалоеизменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0+ ) - f (x 0)называется приращением функции. Производной функции y = f (x) в точке x 0называется предел:
Если этот предел существует,тофункция f (x) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точкеA.Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
|
|
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A(x 0, f (x 0)). Вобщем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид:
y = f ’(x 0) · x + b.
Чтобы найти b,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b,
отсюда, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:
y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0).
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки –известная функция x (t) времени t. Втечение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) - x (t 0) = , а её средняя скорость равна: va= / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t 0) материальной точки в момент времени t 0. Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0) = x’ (t 0), т.e. скорость – это производная координатыповремени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).