Опр1: Начальным моментом k-го порядка СВ Х назыв МО СВ Xk: υk=M(Xk)
Например, υ1=M(X), т.е нач.момент 1-го порядка=МО СВ Х.
Опр2: Центральным моментом k-го порядка СВ Х назыв МО СВ (Х-mx)k:μk=M(X-mx)k ,т.е центральным моментом k-го порядка назыв МО отклонения в k-ой степени.
Напимер, μ2=M(X-m2)2 = D(X), т.е центральный момент второго порядка дисперсии СВ.
Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теорет.моментов соответствующим эмпирическим моментом того же порядка.
Если распределение определ.одним параметром, то для его отыскания приравнивают один теорет.момент одному эмпирическому моменту того же порядка, например можно прировнять начальный теорет.момент 1-го порядка начальному эмпирич.моменту 1-го порядка: υ1= μ1
Учитывая, что υ1=M(X),а μ1=X’B получим, что M(X)=X’B (1). МО явл.ф-цией от неизвестного параметра, заданного распределения, потому решив ур-ние(1) относит.неизвестного параметра тем самым получим его точечную оценку.
Если распределение определ. 2 параметрами, то приравнивают два теорет.момента соот-щим двум эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теорет.момент 1-го порядка нач.эмпирич.моменту 1-го порядка и центральный теорет.момент 2-го порядка центральному эмпирич.моменту 2-го порядка: υ1=M1, μ2=m2
|
|
Учитывая, что υ1=M(X), μ1=X’B, μ2 =D(X), m2=DB имеем, что система [M(X)=X’B и D(X)=DB]
Левые части этих равенств явл.ф-циями от неизвестных параметров, поэтому решив систему относит.неизвестных параметров тем самым получим их точечные оценки.
Естественно, что для вычисления выборочной средней X’B и выбор.дисперсии DB надо иметь выборку х1, х2, …, хn.
Пример 1. Реш-е:надо оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно Ур-ние отности.этого параметра υ1=M1 =>М(X)=x’B, но известно, что МО М(Х)=λ; λ=x’B Т.О точечной оценкой параметра λ распределение Пуассона служит выборочная средняя: λ*=x’B
Пример 2. Реш-е: из прим.1 λ*=x’B
Х‾В=900/1000=0,9
Точечные оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия.
Метод наиб.правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимальной ф-ции одного или нескольких оценивающих параметров.
А. ДСВ
Пусть X—ДСВ, которая в результате n испытаний приняла значения х1, х2,..., хn. Допустим, что вид закона распределения величины X задан, но неизвестен параметр Θ, которым определяется этот закон. Требуется найти его точечную оценку. Θ*= θ*(х1, х2,..., хn). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение xi через
|
|
Р(xi; Θ*).
Функцией правдоподобия ДСВ X называют функцию аргумента Θ: L(х1, х2,..., хn, Θ) = р(х1; Θ)р(х2; Θ)... р(хn; Θ),
Оценкой наиб.правдоподобия Θ назыв.такое его значение Θ* при котором ф-ция правдоподобия достигает максимума.
Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении Θ, поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут максимум функции lnL.
Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию lnL. Tочку максимума функции lnL аргумента Θ можно искать, например, так:
1) найти производную dlnL/dΘ;
2) приравнять производную нулю и найти критическую точку Θ* -корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия);
3) найти вторую производную d2lnL,Рг; если вторая производная при Θ = Θ * отрицательна, то Θ *—точка максимума.
Найденную точку максимума Θ * принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра Θ.