Основы точечного оценивания

Пусть дана выборка объемом n. 设给定样本容量n,

.....

Характеристики случайной величины, найденные по выборке называются выборочными характеристиками. Рассмотрим по 4 выборочные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения.点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、方差和相关系数等。点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量，作为未知参数或未知参数的函数的估计值。

Точечные оценки математического ожидания:

1. Выборочное среднее (среднее арифметическое):样本平均值

. (12.1)

2. Выборочная медиана – вычисляется по формуле (10.2):样本中位数

med= . (12.2)

3.Полусумма квартилей:四分位数之和的一半

, (12.3)

где квартили вычисляются по формулам (10.4), (10.5).

4. Полусумма экстремальных значений:极端值之和的一半

. (12.4)

Точечные оценки средне квадратического отклонения:点估计四分位数均值的偏离

1. Выборочное отклонение:样本偏差

Сначала находят выборочную дисперсию:首先处于样本方差

. (12.5)

Выборочное отклонение:

. (12.6)

2. Абсолютное отклонение:绝对偏差

. (12.7)

3. Интерквартильная широта:四分位数间距

. (12.8)

4. Размах:范围

. (12.9)

Основные свойства точечных оценок:点估计的基本性质

1. Состоятельность оценки означает, что с увеличением объема выборки оценка стремится к самой величине. Все рассмотренные выше статистические оценки математического ожидания и отклонения являются состоятельными.

2. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание оценки равно математическому ожиданию самой величины. Все рассмотренные оценки математического ожидания являются несмещенными, а все оценки отклонения – смещенными. Для получения несмещенных оценок их нормируют. Универсально нормируется только выборочное отклонение, остальные нормировочные коэффициенты зависят от предполагаемого вида закона распределения случайной величины. Несмещенное отклонение вычисляется по формуле:

. (12.10)

3. Робастность оценки в узком смысле означает устойчивость к выбросам случайных данных. Робастные оценки не содержат экстремальных элементов выборки.

12.2. Пример решения типового заданияпо теме
«Точечные оценки выборочных числовых характеристик»

Задание № 12. Дана выборка. Найти выборочное среднее, медиану, полусумму квартилей, полусумму экстремальных значений, выборочную дисперсию, выборочное отклонение, абсолютное отклонение, интерквартильную широту, размах. Расположить оценки математического ожидания и отклонения в порядке возрастания. Сделать вывод о степени близости оценок. Указать состоятельность, несмещенность и робастность всех найденных оценок выборочных характеристик. Найти несмещенное выборочное отклонение.给定样本。找出样本平均数，中位数，四分位数之和的一半，极端值之和的一半，样本方差，绝对偏差，四分位数间距，范围。找到升序排列的数学期望估计和偏差，得出接近额度值程度的结论。指出全部指定样本一致性，无偏性，有效性。找出一致估计偏差。

Решение. Объем выборки n =25. Построим вариационный ряд – упорядочим выборку по возрастанию (см. пример в разделе 10).

Найдем точечные оценки математического ожидания:

1. Найдем выборочное среднее по формуле (12.1):

.

2. Найдем выборочную медиану по формуле (12.2) аналогично примеру в разделе 10: med = 5.

3. Найдем полусумму квартилей по формуле(12.3). Сами квартили находим по аналогии с примером раздела 10: , .

Тогда .

4. Найдем полусумму экстремальных значений по формуле (12.4). Сами экстремальные значения определяются как в примере раздела 10:

, .

Тогда .

Расположим оценки математического ожидания по возрастанию:

.

Видно, что оценки математического ожидания хорошо согласованы, за исключением, может быть, медианы, значение которой указывает на несимметричный характер распределения значений выборки.

Все оценки математического ожидания являются состоятельными и несмещенными. Робастными будут оценки, при вычислении которых не используются экстремальные значения. Это медиана med, формула (12.2) и полусумма квартилей , формула (12.3).

Найдем точечные оценки средне квадратического отклонения:

1. Выборочную дисперсию находим по формуле (12.5):

Выборочное отклонение вычисляется по формуле (12.6):

.

2. Абсолютное отклонение находим по формуле (12.7):

3. Интерквартильную широту находим по формуле (12.8):

.

4. Размах находим по формуле (12.9):

.

Расположим оценки отклонения по возрастанию:

.

Видно, что не все оценки отклонения хорошо согласованы. Но, во всяком случае, порядок возрастания различных оценок математического ожидания совпадает с порядком возрастания сходственных оценок отклонения (медиана – абсолютное отклонение, выборочное среднее – выборочное отклонение, полусумма квартилей – интерквартильная широта, полусумма экстремальных значений – размах). Кроме того, наиболее грубые из оценок – размах и полусумма экстремальных значений, действительно в наибольшей степени отличаются от группы остальных оценок.

Все оценки отклонения являются состоятельными и смещенными. Несмещенное выборочное отклонение находим по формуле (12.10):

Единственной робастной оценкой отклонения является интерквартильная широта, при вычислении которой не используются экстремальные элементы выборки.

12.3. Задания по теме «Точечные оценки выборочных
числовых характеристик»

Текст задания. Дана выборка.给定样本。

1) Найти выборочное среднее, медиану, полусумму квартилей, полусумму экстремальных значений, выборочную дисперсию, выборочное отклонение, абсолютное отклонение, интерквартильную широту, размах.找出样本平均数，中位数，四分位数之和的一半，极端值之和的一半，样本方差，绝对偏差，四分位数间距，范围。

2) Расположить оценки математического ожидания и отклонения в порядке возрастания. 找到升序排列的数学期望估计和偏差。

3) Сделать вывод о степени близости оценок. 得出接近额度值程度的结论。

4) Указать состоятельность, несмещенность и робастность всех найденных оценок выборочных характеристик. Найти несмещенное выборочное отклонение.指出全部指定样本一致性，无偏性，有效性。找出一致估计偏差。

Таблица 12.1

Варианты задания

12.1.	12.2.
З1
12.3.	12.4.
12.5.	12.6.
12.7.	12.8.
12.9.	12.10.

13.ТОЧНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ
ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ

估计概率的准确性与可靠性
(ФОРМУЛА МУАВРА-ЛАПЛАСА)

13.1. Основы интервального оценивания вероятности 区间估计

При больших объемах выборки точность и надежность статистической оценки вероятности связаны формулой Муавра-Лапласа:在大量样本统计估计概率准确性与可靠性是使用拉普拉斯公式：

, (13.1)

где Ф – функция Лапласа拉普拉斯函数, р – оценка вероятности события А 事件概率估计, q = 1 – p, ε – точность оценки вероятности爱侣估计准确性, γ – ее надежность可靠性, n – объем выборки样本容量.

Задавая два из трех параметров ε, γ или n, можно найти значение третьего по формуле Муавра-Лапласа (13.1). Например, оценить объем выборки, требуемый для достижения заданной точности и надежности исследования.习题给出三个参数中的两个，可以根据拉普拉斯公式得出第三个。

13.2. Пример решения типового задания по теме
«Точность и надежность оценки вероятности»

Задание № 13. Вариант 1. Согласно опросу2500 человек рейтинг кандидата в депутаты муниципального образования оказался 20%. Какова точность этого опроса при его надежности 95%.据2500人问卷调查显示，20%认为市教育受欢迎。这个问卷的可靠性是95%，求准确性。

Решение. Определим значения параметров: n = 2500, γ = 95% = 0,95, р = 20% = 0,2, следовательно, q = 1 – p = 1 - 0,2 = 0,8.

Обозначим

. (13.2)

Тогда формула Муавра-Лапласа (13.1) примет вид: . Это уравнение относительно х, причем функция Лапласа задана таблично в Прил. 2. Подставляя заданное значение надежности оценки, получаем

, .

По таблице Прил. 2 находим аргумент функции Лапласа, соответствующий ее значению 0,475. Это х = 1,96. Запишем соотношение (13.2):

.

Откуда

.

Значит, рейтинг кандидата в депутаты составляет 20% + 1,6%.

Задание № 13. Вариант 2. Согласно анализу2000 дипломных работ выяснилось, что 920 из них содержат серьезные грамматические ошибки. Какова надежность этого исследования при его точности 3,5%.据分析2000份毕业论文中有920份有严重的语法错误。如果这个准确性是3，5%，那么求他的可靠性。

Решение. Определим значения параметров: n = 2000, ε = 3,5% = 0,035, р = = 0,46, следовательно, q = 1 – p = 1- 0,46 = 0,64.

Найдем по формуле (13.2):

.

Из формулы Муавра-Лапласа (13.1) выразим надежность

.

Значение функции Лапласа найдем по таблице Прил. 2:

.

Тогда

Значит, надежность проведенного исследования дипломных работ составляет 99,93%. Как и следовало ожидать, надежность такого исследования близка к 1.

13.3. Задания по теме «Точность и надежность оценки вероятности»习题

13.1. По результатам опроса 2500 человек законопроект поддерживают 64% взрослого населения. Какова точность этого опроса при надежности 90%?据2500人问卷调查显示64%的成年人遵守法律条文。如果这个可靠性是90%，那么求它的准确性。	13.2. 75% из 1300 опрошенных предпочитают покупать продукты в дешевых сетевых магазинах. Какова надежность этого опроса его точности + 4%?调查显示，1300名受访者中75%更喜欢在廉价的连锁店购买产品。如果这个问卷准确性是 + 4%，求它的可靠性。
13.3. По результатам социологи- ческого опроса из 3600 человек довольны качеством жизни 34%. Какова точность этой оценки при надежности опроса 92%?根据社会问卷调查显示，3600人中有34%对自己的生活质量满意。如果这个估计的可靠性是92%，求它的准确性。	13.4. 42% из 1600 опрошенных студентов удовлетворены работой университетской столовой. Какова надежность полученных данных при точности + 3%?接受调查的1600名学生中，有42%满意大学食堂工作。如果这个估计的准确性是 + 3%，那么求它的可靠性。

13.5. 90% песен, транслируемых на радио «Русский шансон», не нравятся студентам-физикам согласно опросу 1000 человек. Какова точность опроса при его надежности 88%?物理系学生1000名，问卷显示《俄罗斯名民歌》电台播出的歌曲90%不喜欢。如果这个估计可靠性是88%，求它的准确性。	13.6. Опрос 2800 покупателей показал, что новый бренд чая «Ойстон» поддерживают 33% покупателей. Какова надежность этой оценки при допустимой точности + 4%?据2800名消费者问卷显示，新品牌茶叶有33%喜欢。如果这个估计的准确性是 + 4%，那么求它的可靠性。
13.7. 56% из 900 испытанных образцов новой продукции джинсовой фирмы “Tears” соответствуют принятым в отрасли стандартам. Оцените точность этих испытаний при их надежности 95%.有900人参加牛仔品牌测试调查，有56%认为符合行业标准。如果这个估计可靠性是95%，那么求它的准确性。	13.8. 41% из опробованных пачек чая бренда «Пэйл» оказались неудовлетворительного качества. Какова надежность данных проверки генеральной совокупности при ее точности + 1%?有41%的测试茶叶包不符合质量标准。如果这个估计的准确性是 + 1%，那么求它的可靠性。
13.9. Из 1500 посетителей салонов красоты 65% ответили, что им нравятся песни, раскручиваемые «Русским радио». Какова точность этой оценки при надежности опроса 92%?在美容院1500名消费者中表示有65%人喜欢俄罗斯广播电电台。如果这个估计的可靠性是92%，那么求它的准确性。	13.10. Опрос 3600 студентов университета показал, что здесь нравится учиться 68% из них. Какова надежность этой оценки при предполагаемой точности опроса + 2%?有3600名大学生参加调查，其中68%表示满意学习。如果这个估计的准确性是 + 2%，求它的可靠性。