Покажем на примере метод непосредственной обработки выборки.
Пример: Некоторая физ.величина z измерена 9 раз. Найти вероятнейшее значение этой величины, среднеквадрат.ошибки единичного результата измерения и вероятнейшего значения, предельную ошибку единичного измерения и установить имеются ли среди измеренных величин промахи.
С надёжностью 0,99 найти доверит.интервал для оценки истинного значения измеренной величины. Результаты измерений связаны в табл.в порядке возрастания.
Пример. Решение: Вероятнейшее значение измеренной величины, это её среднее значение
Ž= Σzi/n = 146,8/9=16,31
Найдём среднее из квадратов значение: Ž2= Σzi2/n=2309,92/9=266, 658
Вычислим исправленную среднеквадратическую ошибку единичного измерения: Sz=корень из [n/(n-1) (Ž2- (Ž)2)]=0,8498
Среднеквадратическая ошибка выроятнейшего (среднего) значения равна: SŽ= Sz/(n)1/2 = 0,2833
Предельная ошибка единичного измерения принимается в три раза большей среднеквадрат.ошибки единичного измерения:
εпред=3S= 2,5494
Возможные измеренные значения должны находиться в пределах: Ž-εпред<zi<Ž+εпред
16,31-2,55<zi<16,31+2,55
13,76<zi<18,86
Приведенные результаты не входят за эти пределы, промахов нет. Если бы промахи были, то их нужно было бы отбросить и произвести обработку выборки снова.
По таблице значений t(γ;n) составленной для распределения Стьюдента γ=0,99 и n=9, t(γ;n)=3,36
Точность оценки ε= tγ SŽ = 3,36*0,2833=0,952
Доверительный интервал для оценки истинного значения измеренной величины имеет вид: Ž-ε<zчист< Ž+ε
16,31-0,95< zчист <16,31+0,95
15,36< zчист <17<26
32. Обработка результатов наблюдений. Метод наименьших квадратов. Линейная аппроксимация экспериментальных данных. Коэффициент корреляции и его свойства.
Обработка результатов наблюдений. Метод наименьших квадратов.
Неизвестные функциональные независимости на практике устанавливаются по средствам измерений.
Пусть например, исследуются функциональная зависимость y=f(x), где ф-ция f(x) неизвестна.
При различных значениях х1, х2, …, хn известных точно измерены с ошибками значения соответствующих им у1, у2,…,уn; yi=f(xi); xi=1,…,n
При полном отсутствии информации о характере ф-ции f(x) нельзя получить достаточно удовлетворенное её приближение. В этом случае, построив в декартовых координатах пары (xi;yi) и соединив их ломаной линией получим график мало напоминающий график ф-ции y=f(x)
По расположению экспериментальных точек и виду ломаной линии предполагая св-ва гладкости ф-ции y=f(x), а так же основываясь на некоторых предположениях, вытекающих из сути изучаемого явл.можно выдвинуть гипотезу о виде предполагаемой зависимости.
Гипотетическая ф-ция должна зависеть кроме аргумента от нескольких параметров a,b,c.. кот.нужно подобрать так, чтобы полученная ф-ция своими значениями в точках х1, х2, …, хn была возможно ближе к измеренным значениям у1, у2,…,уn
Наилучшим приближениям будет такая ф-ция для кот.сумма квадратов отклонений, измеренных значений от вычисленных значений от вычисленных значений ф-ции (при соответствующих значениях аргумента) была линейной. В этом заключается метод наименьших квадратов.
Пусть например, гипотетическая ф-ция зависит от 2-х параметров f(x,a,b), тогда сумма отклонения имеет вид F(a,b)= Σ(f(x,a,b)- yi)2 (1)
Сумма (1) надо минимизировать. Известно, что ф-ция нескольких переменных достигает экстремума в точках, где частные производные равны нулю, т.о. система [F’a(a,b)=0 и F’b(a,b)=0] (2)
Решая полученную систему найдём параметры a и b, дающие наилучшие приближения ф-ции к экспериментальным данным.
Линейная аппроксимация экспериментальных данных. Коэффициент корреляции и его свойства.
Пусть экспериментальные данные позволяют предполагать линейную зависимость между количественными признаками Х и У: y=kx=b
Согласно формулам (1) и (2) имеем, что F(k,f)= Σ(kxi+b-yi)2
Система [F’k(k,b)= Σ2xi(kxi+b-yi)=0 и F’b(k,b)= Σ2(kxi+b-yi)=0]
Система [k= Σxi2+b Σxi= Σxiyi и k= Σxi+bn= Σyi] (3)
Разделив для удобства обе части полученных ур-ний на n будем иметь: kх’2+bх’= х’ý и kх’+b=ý, где чертов обозначены средние значения.
х’ý=1/n Σxiyi
Решим полученную систему с помощью формул Крамера:
K=Δk/Δ= (х’ý- х’*ý)/σx2 (4)
Используем второе Ур-ние системы (3) b= ý-kх’
Подставляя значение в Ур-ние прямой будем иметь: y=kx+b и y=kx+ý- kх’ |=> y-ý=k(x- х’) (5)
Т.О прямая проходит через точку (х’;ý), координаты кот.явл.средними значениями признаков.
Преобразуем формулу(4): k=(х’ý- х’*ý)/σxσy *(σx/σy)=rB σx/σy
Т.О вводится величина rB==(х’ý- х’*ý)/σxσy (6), уот.назыв.выборочным коэ-том корреляции и имеет самост.значение, тогда k= rB σx/σy (7)
Учитывая (5) и (7) можно получить ур-ние прямой в след.виде: (y-ý)/ σy=(x-х’)/ σx (8)
Найдем минимум среднего значения квадратов отклонения эксперимент.точек от теоретических при найденных значениях k и b: 1/n F(k;b=1/n Σ(kxi+b-yi)2 = 1/n Σ(kxi+y-kх’-yi)2 = 1/n Σ(k(xi-х’)-(yi -ý))2 =k/n Σ(xi-х’)2+2 1/nΣ (yi -ý))2-2k/n Σ(xi-х’)(yi -ý)= k2σx2+σy2-2n/k Σ(xiyi -xiý- х’yi-х’ý)= k2σx2+σy2-2k (1/n Σxiyi-ý Σxi/n- х’ Σyi/n+ х’ý)= k2σx2+σy2-2k(х’ý-ýх’-х’ý+х’ý)= k2σx2+σy2-2k(х’ý-ýх’)=r2B σy2/σx2* σx2-2rB σy/σx rB σyσx = σy2(1- r2B)
Т.О F(k;b)min=n σy2(1- r2B) (9). Величина определяющая (9) назыв.остаточной дисперсией,т.к сумма квадратов отклонений неотрицательна, то (1- r2B)≥0 |=> |rB|≤1 (10).
Положим в (9) |rB|=1, тогда F(k;b) min min=0, т.е. минимум всех квадратов отклонений достигает своего наим.значения равного нулю, т.е все квадраты отклонений, а значит и сами отклонения равны нулю, др.словами излучаемая зависимость действительной линейной ф-ции и ошибки наблюдения отсутствуют.
Если rB=0, то остаточная дисперсия имеет наиб.значение F(k;b) min max =n σy2
Как следует из уравнения (8) у=ý, т.е значение величины У не зависят от значений Х.
Теорией вероятностей доказыв.,что чем ближе выборочный коэф-т корреляции по модулю к единице, тем теснее линейная связь м/д признакми Х и У и наоборот, чем меньше по модулю rB, тем слабее линейная связь м/д признаками.
Отметим, что малая величина rB (по модулю) свидетельствуют о слабости или отсутствии связи именно линейной, а не об отсутствии связей какого-либо другого вида служит другая величина – корреляционное отношение.
Пример. Реш-е: наносим эксперим.точки на чертеж ….
По расположению точек полагаем возможной лин.апроксимацию.
х‾=20/5=4; х‾2=90/5=18; у‾=14,5/5=2,9; у‾2=50,35/20=10,07; σх=√2;σу=√1,66; (ху)‾=50,5/5=10,1;
rВ=((ху)‾- х‾*у‾)/σхσу= -0,8232
|rВ|≈1, поэтому лин.св.м/у признаками можно считать дост.тесной. Ур-е прямой по формуле: (y-ý)/ σy=(x-х’)/ σx: у=-0,75х+5,9
Найдем знач-е апроксимир-ей ф-ции для 2 крайних точек:
У(2)=-0,75*2+5,9=4,4; у(6)=-0,75*6+5,9=1,4. По этом точкам строим прямую, по расположению к-рой относит.измерений точек визуально можно отметить относит.правильность расчета.