Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, существует и этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.
.
Пример. Проверим непрерывность функции в произвольной точке :
.
Приращением переменной величины будем называть разность между двумя ее различными значениями. Пусть в начальный момент времени переменная величина имела значение , а затем в процессе своего изменения приняла какое-то значение , разность называется приращением этой переменной величины и обозначается .
Приращение функции соответствует взятому приращению аргумента.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции .
Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , разность , произведение и частное также непрерывны в этой точке.
Теорема 2. Если промежуточный аргумент непрерывен в точке , а заданная функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
|
|
Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.
Если в точке нарушены условия непрерывности функции , то в этой точке функция терпит разрыв; сама такая точка называется точкой разрыва.
Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной этой функции
.