Момент инерции

Глава 4

Механика твердого тела

Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23).

Рис. 23

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним — r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; а его объем 2prh dr. Если r — плотность материала, то dm = r 2prh dr и dJ = 2phrr^зdr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как pR²h — объем цилиндра, то его масса m = pR²hr, а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

(16.1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Т а б л и ц а 1

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R Сплошной цилиндр или диск радиуса R Прямой тонкий стержень длиной l Прямой тонкий стержень длиной l Шар радиусом R	Ось симметрии Ось симметрии Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец Ось проходит через центр шара