Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только при вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, а роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

Рис. 28

где — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; — импульс материальной точки (рис.28); — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента импульса

где — угол между векторами и , — плечо вектора относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса , с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы

(19.1)

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его частиц:

Используя формулу (17.1) , получим

т.е.

(19.2)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

Это выражение — еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

. (19.3)

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда

(19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, держит в вытянутых руках гантели (рис. 29). Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. А поскольку момент внешних сил равен нулю, и момент импульса системы сохраняется, угловая скорость вращения возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Рис. 29

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 2).

Таблица 2

Масса Скорость Ускорение Сила Импульс Основное уравнение динамики Работа Кинетическая энергия

Момент инерции Угловая скорость Угловое ускорение Момент силы Момент импульса Основное уравнение динамики Работа вращения Кинетическая энергия вращения