Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса

Выясним, какая механическая величина вызывает изменение момента импульса материальной точки. Возьмем выражение для момента импульса (4.6) и продифференцируем его по времени

. (4.20)

По второму закону Ньютона . Векторы скорости и импульса направлены в одну сторону, следовательно, их векторное произведение равно нулю . С учетом этого соотношение (4.20) примет вид

, (4.21)

где равнодействующая всех сил, суммарный момент всех сил, действующих на материальную точку.

Перепишем равенство (4.21) в виде

. (4.22)

Соотношение (4.22) называется уравнением моментов для материальной точки. Оно гласит: производная от момента импульса материальной точки относительно заданной точки , равна сумме моментов всех сил, действующих на материальную точку.

Важно помнить, что если система отсчета является неинерциальной, то, кроме моментов сил взаимодействия, необходимо включить в соотношение (4.22) моменты сил инерции относительно той же точки .

Выясним, при каких условиях сохраняется момент импульса материальной точки. Из уравнения моментов (4.22) видно, если результирующий момент силы относительно некоторой точки равен нулю (), то производная от момента импульса также равна нулю (). Это значит, что относительно этой точки момент импульса будет постоянным вектором, т.е. . Условие равенства моментов сил выполняется для таких сил, которые являются центральными [6].

Полученный вывод продемонстрируем на следующем примере. Пусть спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите (рис. 4.7). На спутник действует гравитационная сила, в любой точке траектории направленная к центру Земли. Поскольку точка всегда лежит на линии действия этой силы, то ее момент относительно этой точки в любой момент времени равен нулю. Силами притяжения спутника к другим планетам солнечной системы, в том числе и к Солнцу, пренебрегаем. При движении спутника в любой точке его траектории вектор момента импульса будет постоянным, т.е. . В скалярном виде это соотношение имеет вид

. (4.23)

Закон сохранения момента импульса вместе с законом сохранения механической энергии позволяют рассчитать траектории движения спутников вокруг планет. Важно помнить, что последнее соотношение справедливо только относительно единственной точки , называемой силовым центром силы притяжения.

Для вычисления изменения момента импульса материальной точки за конечный промежуток времени , проинтегрируем уравнение моментов (4.22), в результате получим следующее соотношение:

. (4.24)

Величину, стоящую в правой части этого уравнения называют импульсом момента равнодействующей всех сил.

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Пусть на данную систему точек действуют внешние тела. Силы, создаваемые внешними телами, назовем внешними силами. Кроме того, материальные точки, образующие систему, могут взаимодействовать между собой. Эти силы назовем внутренними силами. Рассмотрим материальную точку. Обозначим результирующий момент внешних сил , действующих на нее, а сумму моментов всех внутренних сил – , причем (частица сама с собой не взаимодействует). Запишем уравнение моментов для той точки

. (4.25)

Аналогичные уравнения можно записать и для остальных материальных точек рассматриваемой системы. Сложив записанные уравнения, получим:

. (4.26)

Все внутренние силы являются парными, причем линии действия пары сил и совпадают. Плечи этих сил относительно точки одинаковы. Т.к. эта пара сил удовлетворяет третьему закону Ньютона (), то и моменты этой пары сил одинаковы по величине, но противоположно направлены, т.е. . Следовательно, сумма моментов внутренних сил равна нулю, т.е. . Учтем, что сумма производных равна производной от суммы, откуда выражение примет вид , результирующий момент импульса системы материальных точек. Запишем уравнение (4.26) в виде

. (4.27)

Уравнение (4.27) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это уравнение можно применять и для системы твердых тел, т.к. тела можно разбить на бесконечно малые части, и получить систему материальных точек.

Вывод: Производная от результирующего момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил, действующих на данную систему.

Заметим, что в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать моменты сил инерции относительно той же точки .

Приращение момента импульса для системы материальных точек вычисляется из следующего соотношения:

(4.28)

Сформулируем условия, при выполнении которых сохраняется момент импульса.

Из уравнения (4.27) следует: для того, чтобы , необходимо чтобы , а это значит, что сумма моментов внешних сил должна равняться нулю, т.е. . Последнее условие выполняется в следующих случаях:

1) внешние силы отсутствуют в замкнутых[7] системах. Отсюда следует, что в замкнутых системах вектор момента импульса остается постоянным. Это утверждение называется законом сохранения момента импульса. Причем этот закон выполняется для любой точки инерциальной системы отсчета;

2) момент импульса будет сохраняться с течением времени и в незамкнутых системах, при условии, что сумма моментов всех внешних сил равна нулю. В неинерциальных системах отсчета к моментам внешних сил необходимо добавить момент сил инерции.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте формулировку уравнения моментов материальной точки.

2. Моменты каких сил изменяют момент импульса системы?

3. Почему внутренние силы системы материальных точек не изменяют суммарный момент импульса?

4. Дайте формулировку уравнения моментов системы материальных точек.

5. Сформулируйте условия, при которых момент импульса системы материальных точек не зависит от времени.

6. Можем ли мы использовать закон сохранения момента импульса в неинерциальных системах отсчета?