Основной закон релятивистской динамики материальной точки

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением скорости по закону

(39.1)

где — масса покоя материальной точки, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой материальная точка находится в покое; с —скорость света в вакууме; т— масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.

Из принципа относительности Эйнштейна (см. §35), утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

(39.2)

или

(39.3)

где

(39.4)

— релятивистский импульс материальной точки.

Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики (6.7). Однако физический смысл его другой: справа стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (39.4). Таким образом, уравнение (39.2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства (см. § 9) в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к скорости света, то можно использовать только релятивистское выражение для импульса.

Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости света, уравнение (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие << с. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая << с (формально переход осуществляется при ). Таким образом, классическая механика — это механика макроскопических тел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (39.1) является подтверждением справедливости специальной теории относительности. В дальнейшем (см. §116) будет показано, что на основании этой зависимости производятся расчеты ускорителей.