Параметризация нелинейной модели

Параметризация нелинейных парных моделей имеет свою специфику. Конечно, можно воспользоваться нелинейным МНК. Идея такого подхода такова же, как и в линейном случае: минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (наблюдаемых) значений , , зависимой переменной от теоретических значений , , полученных по уравнению регрессии:

.

Главный недостаток такого подхода заключается в том, что для нахождения значений параметров приходится решать весьма сложные системы нелинейных уравнений.

В эконометрических исследованиях большее распространение получил метод определения параметров нелинейной парной регрессии, основанный на применении процедур линеаризации. Он состоит в том, что с помощью соответствующих преобразований исходных переменных исследуемая зависимость представляется в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Для оценки параметров регрессии, нелинейной относительно включенной в уравнение объясняющей переменной, но линейной по оцениваемым параметрам, используется подход, называемый «замена переменных». Суть его состоит в замене «нелинейных» объясняющих переменных новыми «линейными» переменными. После этого к новой регрессии применяется обычный МНК. Например, модель гиперболической регрессии параметризуется после замены и как линейная модель .

Для оценки параметров регрессии, нелинейной по оцениваемым параметрам, часто применяется метод логарифмирования с последующей заменой переменных. Например, уравнение экспоненциальной регрессии параметризуется как линейная модель после логарифмирования и введения новых переменных и .

В таблице 3.1 приведены виды нелинейных парных регрессий и формулы замен переменных.

Метод линеаризации для оценки параметров парной регрессии удобен тем, что он может быть легко реализован в стандартных пакетах прикладных компьютерных программ (например, Excel). Недостаток подхода проявляется в том, что оценки параметров регрессии в таком случае получаются несколько смещенными. Это связано с тем, что сами оценки находятся не из условия минимизации суммы квадратов отклонений исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же.

Таблица 3.1. Оценки параметров нелинейных моделей регрессии

Вид регрессии	Линеаризующее преобразование
Экспоненциальная регрессия	, (после логарифмирования)
Логарифмическая регрессия	,
Степенная регрессия	, (после логарифмирования)
Показательная регрессия	, (после логарифмирования)
Гиперболическая регрессия	,