Примеры решения типовых заданий

17 18 19 20 21 22 23

Пример 7.1. Дана расширенная модель формирования спроса и предложения:

где – цена, – цена в предыдущий момент времени, – предложение товара, – спрос на товар, – доход.

Составить структурную и приведенную формы модели.

Решение:

Учитывая уравнение равновесия, перейдем от расширенной формы модели к модели:

где – количество товара (производимого и потребляемого).

В данной модели эндогенными переменными (т.е. определяемыми внутри модели) являются переменные и .

Предопределенными переменными являются экзогенная переменная и лаговая эндогенная переменная .

Поэтому структурная форма модели имеет вид:

Приведенная форма содержит два уравнения (по числу эндогенных переменных модели). Каждое уравнение приведенной формы представляет собой зависимость эндогенной переменной от предопределенных переменных модели (дохода и цены в предыдущий период). В результате имеем приведенную форму:

Пример 7.2. Идентифицировать каждое уравнение системы и саму систему в целом

Решение:

Для первого уравнения , . Так как , то ввиду необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) уравнение является неидентифицируемым.

Для второго уравнения , , т.е. выполняется неравенство .

Кроме того, ранг матрицы, составленной из коэффициентов первого и третьего уравнений при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих во втором уравнении, равен двум. Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение сверхидентифицируемо.

Для третьего уравнения , , т.е. выполняется равенство .

Кроме того, ранг матрицы, составленной из коэффициентов первого и второго уравнений при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в третьем уравнении, равен двум. Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) третье уравнение идентифицируемо.

Так как первое уравнение в системе не идентифицируемо, то вся модель является неидентифицируемой.

Пример 7.3. Идентифицировать следующую структурную модель:

Исходя из приведенной формы модели

найти структурные коэффициенты.

Решение:

Модель имеет три эндогенные и три экзогенные переменные.

Проверим для каждого уравнения структурной модели выполнимость необходимого и достаточного условия идентификации, приведенного в таблице (7.1).

Первое уравнение содержит две эндогенные переменные и ; в нем отсутствует одна экзогенная переменная . Значит, , и выполняется равенство .

Построим матрицу из коэффициентов при переменных и во втором и третьем уравнениях системы: . Так как , то ранг матрицы равен 2.

Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) первое уравнение идентифицируемо.

Второе уравнение содержит три эндогенные переменные , и ; в нем отсутствуют две экзогенные переменные и . Значит, , и выполняется равенство .

Построим матрицу из коэффициентов при переменных и в первом и третьем уравнениях системы: . Так как , то ранг матрицы равен 2.

Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение идентифицируемо.

Третье уравнение содержит две эндогенные переменные и ; в нем отсутствует одна экзогенная переменная . Значит, , и выполняется равенство .

Построим матрицу из коэффициентов при переменные и в первом и втором уравнениях системы: . Так как , то ранг матрицы равен 2.

Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) третье уравнение идентифицируемо.

Таким образом, исследуемая система идентифицируема. Поэтому для ее решения применим косвенный метод наименьших квадратов: структурные коэффициенты модели с помощью алгебраических преобразований выразим через приведенные коэффициенты.

1. Из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

Данное выражение содержит переменные , и , которые нужны для первого уравнения структурной формы модели. Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели:

Получили первое уравнение структурной формы модели.

2. Во втором уравнении структурной формы модели нет переменных и . Параметры второго уравнения структурной формы определим в два этапа.

На первом этапе выразим из первого уравнения приведенной формы модели:

Кроме того, выразим из третьего уравнения приведенной формы модели:

Подставим значение в выражение для :

На втором этапе аналогично в выражение для подставим значение , полученное из первого уравнения приведенной формы модели:

Следовательно, .

Подставим теперь полученные значения и во второе уравнение приведенной формы модели:

Получили второе уравнение структурной формы модели.

3. Из второго уравнения приведенной формы модели выразим :

Подставим полученное выражение в третье уравнение приведенной формы модели:

Получили третье уравнение структурной формы модели.

Таким образом, структурная форма модели имеет вид:

Пример 7.4. Идентифицировать следующую структурную модель:

На основании статистических данных, представленных в таблице 7.2, с помощью двухшагового метода наименьших квадратов найти структурные коэффициенты модели.

Таблица 7.2. Статистические данные примера 7.4


3,1	7,4	6,8	46,7
22,8	30,4	22,4	3,1
7,8	1,3	17,3	22,8
21,4	8,7	12,0	7,8
17,8	25,8	5,9	21,4
37,2	8,6	44,7	17,8
35,7	30,0	23,1	37,2
46,6	31,4	51,2	35,7
56,0	39,1	32,3	46,6

Решение:

Проверим уравнения структурной модели на идентифицируемость. Модель имеет две эндогенные и и две экзогенные и переменные.

Построим матрицу из коэффициентов при переменной во втором уравнении системы: . Так как , то ранг матрицы равен 1.

Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) первое уравнение системы идентифицируемо.

Второе уравнение содержит две эндогенные переменные и ; в нем отсутствует одна экзогенная переменная . Значит, , и выполняется равенство .

Построим матрицу из коэффициентов при переменной в первом уравнении системы: . Так как , то ранг матрицы равен 1.

Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение системы идентифицируемо.

Таким образом, исследуемая система является идентифицируемой.

Приведенная форма модели имеет вид:

Приведенные коэффициенты вычислим обычным МНК с помощью

инструмента «Регрессия» табличного процессора Excel (используя статистические данные таблицы 7.2):

На основе уравнения найдем теоретические значения для эндогенной переменной . Для этого подставим в уравнение значения переменных и . Аналогично на основе уравнения регрессии найдем теоретические оценки для эндогенной переменной . Результаты вычислений сведем в таблицу 7.3.