2015-01-21
7279
Погрешность, возникающая при замене значения функции 
значением интерполяционного многочлена 
, представима формулой:
.
Слагаемые 
метода и 
вычисляются теоретически, 
можно получить лишь в самом процессе счета, так как погрешность округления зависит от того, как ведутся вычисления.
А. Оценка погрешности метода (погрешности интерполирования).
Займёмся оценкой величины 
, считая, что многочлен 
построен по точным данным и что значения его вычисляются абсолютно точно.
Теорема. Если в промежутке, содержащем все узлы интерполяции, функция имеет (n+1)-ую ограниченную производную, то для любого значения 
из этого промежутка
.
То есть
, (4)
где Мn+1 -верхняя граница значений 
на рассматриваемом промежутке.
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
,
где к -некоторое число. Функции f(t) и 
имеют производные до (n+1)-го порядка. Функция обращается в нуль во всех узлах интерполяции 
:
Для данного значения x ≠ xi, отличного от всех узлов интерполяции, подберём число к, так чтобы 
. Для определения числа к получаем условие
|
|
|
Поскольку 
, то множитель при числе к отличен от нуля и получаем:
Вычислим теперь число к другим способом. С этой целью вспомним теорему Ролля: между каждыми двумя нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль её производной. Функция имеет (n+2) нуля 
. Следовательно, её производная 
имеет, по крайней мере (n+1) нуль. Применяя повторно теорему Ролля к производной , убеждаемся в том, что вторая производная 
имеет, по крайней мере, n нулей. Продолжая, получим, что (n+1) -ая производная 
имеет, по крайней мере, один нуль, т.е. найдётся точка ξ, в которой
Найдём производную :
Производная (n+1)-го порядка от многочлена n -ой степени равна нулю, то 
Вычислим (n+1)-ую производную, входящую в последнее слагаемое:
.
Следовательно, 
В точке ξ имеем: 
,т.е. 
Сравнивая два выражения для числа к, получаем 
Таким образом, в наших условиях найдётся точка ξ, такая что 
В полученной формуле число ξ неизвестно, поэтому она не может быть использована на практике. Получим формулу, которую можно использовать на практике. Значения 
ограничены числом 
, тем самым 
.
Следовательно, 
.
В. Оценка неустранимой погрешности.
При получении интерполяционного многочлена Лагранжа
Вместо точных значений функции 
использованы приближённые значения 
, т.е. вместо требуемого многочлена получен многочлен 
Неточность исходных данных 
, приводит к неустранимой погрешности 
. Считая известной абсолютную погрешность 
значений : 
:
,
следовательно,
Абсолютная неустранимая погрешность равна
С. Полная погрешность формулы Лагранжа.
|
|
|
Объединяя полученные результаты, можно написать следующее выражение для полной погрешности формулы Лагранжа
, (4)
где 
- верхняя граница значений на рассматриваемом отрезке; - абсолютная погрешность вычисления значения функции ; 
-многочлены; 
- суммарная погрешность всех проведённых в ходе вычисления округлений.
Пример 10.
Для функции = sin(x) сузлами 
построен интерполяционный многочлен Лагранжа 
. Вычислить значение многочлена при 
и оценить полную погрешность, считая, что использованы пятизначные таблицы значений sin(x) (т.е. 
). Вычислим значение 
:
.
Оценим погрешность интерполирования: 
и на отрезке от 
до 
имеем 
, т.е. 
.
В формуле для вычисления погрешности интерполирования значения 
и переведем в радианы, получим
.
Таким образом,
,
Следовательно, 
.
