Каждому узлу интерполяции , сопоставим многочлен
. (1)
Многочлен равен нулю в любом узле интерполяции , отличном от узла , так как в числителе имеется множитель , который обращается в нуль при .
В узле многочлен принимает значение равное единице, так как при числитель и знаменатель совпадают ,
Докажем, что интерполяционный многочлен можно представить формулой:
(2).
Правая часть равенства (2) является многочленом степени не выше n. В узлах интерполяции её значение равно:
,
при все числа , а при . Многочлен представленный формулой (2), удовлетворяет всем условиям задачи. Формула (2) называется интерполяционной формулой Лагранжа в развернутой форме:
(3)
или
Ln (x)= f (xi)
где
,
.
Теорема. Задача интерполяции всегда имеет единственное решение, которое может быть представлено формулой (3).
Пример 9. Пользуясь формулой Лагранжа, составить интерполяционный многочлен по условиям примера 7. В этом случае
Формула (3) даёт:
.