Уравнения Навое – Стокса неизотермического движения ньютоновского вязкого сжимаемого газа

Как и для несжимаемой жидкости, газ представляет «ньютоновскую» среду, подчинённую известному обобщённому закону Ньютона о линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций .

В отличие от несжимаемой жидкости, в случае газа, который будем считать, так же средой изотропной формула обобщённого закона Ньютона примет вид:

(10)

Или в матричной форме:

Для вывода уравнений динамики вязкого газа используем уравнение в напряжениях, что при выводе уравнений Стокса:

(12)

Или подставляем из(10) получим:

Проведя все операции преобразования как для уравнений Стокса (несжимаемой изотермической жидкости) получим уравнения Навье – Стокса для сжимаемого неизотермического вязкого газа. В проекциях на оси координат получим:

При решении задачи течения газа к этим уравнениям добавляется уравнение неразрывности:

(17)

Формула Саттерленда для вычисления коэффициента вязкости:

(18)

( постоянная Саттерленда, известна из таблиц для всех газов)

Уравнение состояния газа, в предположении, что газ совершенен, т.е. давление , плотность и температура газа удовлетворяют уравнению Клайперона:

(19)

Наличие неизотермического течения газа () делает систему уравнений незамкнутой. Число неизвестных - семь, а уравнений 6.

Чтобы получить замкнутую систему уравнений, составим ещё уравнение баланса тепла в движущемся газе. С этой целью используем уравнение баланса энергии в дифференциальной форме:

(20)

Вспомним, что энтальпия (где и - удельные теплоёмкости газа при постоянном давлении и объёма – константы не зависят от Т и следовательно )

Кроме того, будем считать, что приток тепла имеет место только через теплопроводность:

,

Где коэффициент теплопроводности является функцией температуры и пропорционален , т.е. число Прандтля рассматривается как физическая константа газа.

Кроме этого заменяя в выражении (20) тензор напряжения его выражением (10) получим:

Рассмотрим отдельно:

Т.к. (23)

С учётом (23) и (22) уравнение (21) примет вид:

(24)

Добавляя это уравнение баланса тепла мы замыкаем систему уравнений