Рычаг Н.Е. Жуковского

Определить уравновешивающую силу можно рассматривая механизм в целом, не расчленяя его на группы Асура и не определяя реакций внутренних связей. Метод основан на принципе возможных перемещений.

Для системы, обладающей стационарными связями (т. е. связями, не зависящими от времени), возможные перемещения совпадают с действительными элементарными перемещениями. Математическое выражение принципа возможных перемещений в этом случае получает такой вид:

(33)

или, разделив на ,

(34)

где — задаваемые силы;

— скорости точек приложения сил ;

— проекции скоростей тех же точек на линии действия сил ;

— мощности сил .

Предположим, что в точке I звена АВ приложена сила (рис. 20, а), перенесенная параллельно самой себе в изображающую точку i повернутого на 90° плана скоростей звена (рис. 20, в).

Мощность силы можно выразить следующим образом:

(35)

где — перпендикуляр, опущенный из полюса р плана скоростей на линию действия силы . Угол между pi и равен .

а) в)

Рис. 20. а) Звено АВ; в) План скоростей, повёрнутый на

Так как полученное выше уравнение, определяющее величину , имеет место для всех сил , действующих на другие звенья механизма, то будем иметь:

(36)

Поскольку , то

(37)

На этом основан метод рычага Жуковского. Для рассматриваемого механизма строится план скоростей и поворачивается на 90° в сторону вращения кривошипа. В соответствующих точках плана скоростей прикладываются внешние силы. Полученный чертёж рассматриваем как жёсткий рычаг, вращающийся вокруг полюса р (рычаг Жуковского). Записав уравнение равновесия рычага найдём уравновешивающую силу .

Метод Жуковского можно применить для нахождения величины какой-либо силы, если точка приложения и линия действия этой силы заданы, а также известны линии действия, величины и точки приложения всех остальных сил, действующих на разные звенья механизма.

Замечание 1: Если к звеньям приложены и моменты , то их раскладывают на пары сил, каждая из которых равна:

(38)

и прикладывают силы в соответствующих точках звена механизма.

Замечание 2: Моменты можно приложить прямо к рычагу Жуковского, пересчитав их «на мощность»:

(39)

- длина звена АВ, к которой приложен момент ;

ав – расстояние между соответствующими точками на плане скоростей. имеет тот же знак, что и , если АВ на механизме совпадает по направлению с ав на плане скоростей.

Замечание 3: При исследовании движения механизма, находящегося под действием приложенных сил, удобно все силы, действующие на механизм, заменить силами, приложенными к одному из звеньев механизма. При этом необходимо, чтобы работа заменяющей силы на рассматриваемом возможном перемещении была равна сумме работ всех сил, приложенных к механизму. Заменяющие силы, удовлетворяющие этим условиям, называют приведенными. Величина приведенной к точке силы, заменяющей всю действующую на механизм систему сил, по величине равна уравновешивающей силе, но по направлению приведенная и уравновешивающая силы противоположны.

Применим метод Жуковского к нахождению уравновешивающей силы рассматриваемого нами в качестве примера механизма (рис. 5), план скоростей (рис. 21) которого построен в.

Рис. 21. План скоростей

За точку приложения уравновешивающей силы принимаем точку А ведущего звена направляя ее перпендикулярно к .

Строим в произвольном масштабе повернутый на план скоростей механизма (рис. 22) и переносим векторы всех внешних сил (рис. 5), а также уравновешивающую силу параллельно самим себе в соответствующие точки плана скоростей.

Рис. 22. Рычаг Жуковского.

Моменты от сил инерции разложим на пары сил: , , и приложим в соответствующих точках на концах звеньев.

Принимая план скоростей как жесткий рычаг (рис. 22), нагруженный внешними силами и , составляем уравнение моментов этих сил относительно полюса р плана скоростей, причем знаки у моментов выбираем в зависимости от направления их вращения (положительный момент направлен против часовой стрелки):

(40)

Из этого уравнения определяем величину уравновешивающей силы:

(41)

Если правая часть уравнения после численного подсчета окажется положительной, то направление силы было выбрано правильно. При отрицательном значении правой части направление силы необходимо изменить на противоположное.

Таким образом, уравновешивающая сила определена двумя методами – методом планов сил и при помощи рычага Жуковского. Метод рычага Жуковского является более точным, т.к. погрешность построений не накапливается, как в методе планов сил. Расчёт методом рычага Жуковского позволяет найти функцию изменения приведённой нагрузки за цикл, что, в свою очередь, позволяет обосновать тип электродвигателя и рассчитать его мощность.

Метод планов позволяет определить не только уравновешивающую силу, но и реакции в связях механизма, что важно знать при дальнейшем конструировании и расчёте механизма и его элементов.

Для самопроверки сравним значения уравновешивающей силы, полученные двумя методами:

(42)