Решение

Таблица С-1

Силы
F1=10 кН	F2=20 кН	F3=30 кН	F4=40 кН
Номер условия	Точка приложения силы	α1, град.	Точка приложения силы	α 2, град.	Точка приложения силы	α 3, град.	Точка приложения силы	α 4, град.
	Н		-	-	-	-	К
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	E
	-	-	K		H		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		K		-	-

3.5.3. Пример решения задания С-1

Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С-1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к невесомому стержню.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом . На раму действуют: пара сил с моментом М и две сосредоточенные в точках К и Е силы . В расчетах принять: а = 1м.

Дано: F₁ = 10 кН; F₂ = 20 кН; Р=30 кН; М=40 кНм; а=1 м.

Определить: реакции в точках А, В, вызванные заданными нагрузками.

Решение

1. Рассмотрим равновесие рамы (рис. С -1).

2. Изобразим и обозначим все силы, действующие на раму, включая реакции связей: . Реакцию неподвижной шарнирной опоры в точке А заменим двумя её составляющими, а реакцию в стержне направим по стержню. Следует отметить, что натяжение в тросе по модулю равно силе тяжести груза, закрепленного на его конце: Т=Р.

3. Для полученной плоской произвольной системы сил воспользуемся известным условием равновесия и составим уравнения равновесия:

4. Подставим в составленные уравнения значения заданных величин и определим искомые реакции.

Ответ: X_A=30,8 кН; Y_А= 52,3 кН;R_B =29,5 кН.

Модуль реакции в шарнире А равен: .

Проверка: для проверки правильности решения необходимо составить условие равновесия для данной системы сил в новой системе координат.

3.6. Задание С-2. Произвольная пространственная система сил. Определение реакций связей

3.6.2. Задание С-2. Дано: две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис. С 2.0 – С 2.7) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С 2.8, С 2.9). Все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках. Вес большей плиты Р₁=5 кН, вес меньшей плиты Р₁=3 кН. Каждая из плит расположена параллельно одной из плоскостей проекций (π₁ - горизонтальной, π₂ - фронтальной, π₃ - профильной). При расчетах принять а=0,6 м.

На плиты действуют пара сил с моментом М=4 кНм, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения сил, их направления и точки приложения указаны в таблице С-2. Силы F₁ и F₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости π₁; сила F₂ – в плоскости, параллельной плоскости π₃; сила F₃ – в плоскости параллельной плоскости π₂. Точки приложения сил (D, E, H, K) находятся в углах или серединах сторон плит.

Определить: реакции связей в точках А, В и реакцию стержня (стержней).

Указания. При решении задачи необходимо учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении момента силы её следует разложить на составляющие, параллельные координатным осям.

Таблица С-2

Силы
F1=6 кН	F2=8 кН	F3=10 кН	F4=12 кН
Номер условия	Точка приложения силы	α1, град.	Точка приложения силы	α 2, град.	Точка приложения силы	α 3, град.	Точка приложения силы	α 4, град.
	E		H		-	-	-	-
	-	-	D		E		-	-
	-	-	-	-	K		E
	K		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	D
	H		K		-	-	-	-
	-	-	H		D		-	-
	-	-	-	-	H		K
	D		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H

3.6.3. Пример решения задания С-2

Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С-2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем DK. На плиту в плоскости, параллельной плоскости π₃, действует сила F, а в плоскости, параллельной π₂, – пара сил с моментом М.

Дано: Р = 3 кН; F = 8 кН; М= 4 кНм; α=60°; АС=0,8 м; ВЕ=0,4 м;

АВ=1,2 м; ЕН=0,4 м.

Определить: реакции в шарнирах А, В и стержне DK.

Решение

1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы P, F и пара сил с моментом М, а также реакции связей.

2. Систему координат выбираем таким образом, чтобы её начало совпадало с точкой А, а оси OX, OY были направлены по рёбрам плиты АС и АВ.

3. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие , цилиндрического шарнира – на две составляющие , принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси подшипника. Реакцию N стержня направляем вдоль стержня от D к K, предполагая, что он растянут.

4. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия пространственной системы сил, действующей на плиту (1-6):

Для определения моментов силы относительно координатных осей разлагаем её на две составляющие , , параллельные осям OX, OY

(). Аналогично разложим по осям OY, OZ реакцию в стержне DK. Вычисляя моменты сил относительно координатных осей, следует помнить: момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает ось или ей параллельна.

Подставив в полученные уравнения численные значения всех заданных величин и решив совместно эти уравнения, находим искомые реакции.

Ответ: X_A=3,46 кН; Y_A= 5,18 кН; Z_A= 4,80 кН; X_В= -7,46 кН; Z_В= 2,15 кН; N=5,96 кН.

Знак «-» указывает, что истинное направление составляющей силы реакции в точке В противоположно первоначально выбранному (рис. С -2).

Модуль реакции в шарнире А равен: , модуль реакции в шарнире В равен: .

Проверка: для проверки правильности решения необходимо составить условие равновесия для данной системы сил в новой системе координат.

4.1.1. Задание К -1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения

Дано: точка В движется в плоскости XOY. Закон движения точки задан уравнениями: x=f₁(t), y=f₂(t) (табл. К -1), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Указания: задача К1 относится к кинематике точки; скорость и ускорение точки в декартовых координатах определяются по формулам координатного способа задания движения точки, а касательное и нормальное ускорения точки - по формулам естественного способа задания её движения.

По предпоследней цифре шифра зачетной книжки выбирается уравнение, задающее изменении координаты X(t), а по последней – Y(t).

В задаче все искомые величины следует определить для момента времени t₁=1с.

Таблица К-1

№№ п/п	x=f1(t)	y=f2(t)
Для строк 0-2	Для строк 3-6	Для строк 7-9
	6cos(πt/6) – 3	12sin(πt/6)	2t2+ 2	4cos(πt/6)
	4cos(πt/6)	-6cos(πt/3)	8sin(πt/4)	6cos2(πt/6)
	2 – 3cos(πt/6)	-3sin2(πt/6)	(2+t)2	4cos(πt/3)
	t-4	9sin(πt/6)	2t3	10cos(πt/6)
	4-2t	3cos(πt/3)	2cos(πt/4)	-4cos2(πt/6)
	2-t	10sin(πt/6)	2 - 3t2	12cos(πt/3)
	2t	6sin2(πt/6)	2sin(πt/4)	-3cos(πt/6)
	8sin(πt/6) – 2	-2sin(πt/6)	(t+1)3	-8cos(πt/3)
	12sin(πt/6)	9cos(πt/3)	2 - t3	9cos(πt/6)
	4 – 6sin(πt/6)	-8sin(πt/6)	4cos(πt/4)	-6cos(πt/3)

4.1.2. Пример решения К-1

Дано: уравнения движения точки в плоскости XOY:

x=12sin(πt/6), y=4cos(πt/6), где x, y – в сантиметрах, t – в секундах.

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения параметр t:

– уравнение траектории точки – эллипс с полуосями 12 см и 4 см (рис. К -1).

2. Определим положение точки на траектории в момент времени t₁=1с:

x₁=12sin(πt/6)=6(см), y₁= 4cos(πt/6)= 3,48 (см).

3. Скорость точки находим по её проекциям на координатные оси:

, при t₁=1с

4. Аналогично найдём ускорение точки при t₁=1с:

, при t₁=1с

5. Находим касательное ускорение точки, зная численные значения всех величин, входящих в правую часть выражения:

при t₁=1с

6. Нормальное ускорение точки определяем по формуле , подставляя известные численные значения. При t₁=1с получим

7. Определяем радиус кривизны траектории: ρ=v²/aⁿ при t₁=1с ρ₁=24,93 (см).

Ответ: v₁=5,56 (cм/c); a₁=1,89 (cм/c²); a_1τ=1,43 (cм/c²); a_1n=1,24 (cм/c²); ρ₁=24,93 (см).

4.2.5. Задание К-2. Определение скоростей и ускорений точек многозвенного механизма

Дано: плоский механизм состоит из 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К 2.0 – К 2.1) или из стержней 1, 2, 3, 4 и ползунов В или Е (рис. К 2.2 – К 2.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точки D, В и К находятся в серединах соответствующих стержней. Длины стержней равны соответственно: l₁=0,4 м, l₂=1,2 м, l₃=1,4 м, l₄=0,6 м. Положение механизма определяется углами: α,β,γ,φ,θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в таблицах К -2.1 (для рис. К 2.0 – К 2.4) и К 2.2 (для рис. К 2.5 – К 2.9); при этом в табл. К - 2.2 ω₁, ω₄ – величины постоянные.

Определить: скорости и ускорения точек и звеньев плоского механизма, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Указания: построение чертежа следует начинать со стержня, направление которого определяется углом α; дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки.

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение от точки В к b (рис. К 2.0 – К 2.4).

При решении задачи для определения скоростей точек многозвенного механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и теоремой о распределении скоростей. При определении ускорений точек механизма следует исходить из векторного равенства .

Таблица К-2.1 (к рис. К 2.0-К 2.4)

Номер условия

Углы, град.

Дано

Найти

α

β

γ

φ

θ

ω1 рад/c

ε1 рад/c2

V В м/c

aВ м/c2

V точек

ω звена

a точки

ε звена

-

-

В,Е

АВ

В

АВ

-

-

А,D

DE

A

AB

-

-

B,E

DE

B

AB

-

-

A,E

AB

A

AB

-

-

B,E

DE

B

AB

-

-

D,E

DE

A

AB

-

-

B,E

AB

B

АВ

-

-

A,E

DE

A

AB

-

-

B,E

AB

B

AB

-

-

D,E

AB

A

AB

Таблица К-2.2 (к рис. К 2.5-К 2.9)

Номер условия	Углы, град.	Дано	Найти
α	β	γ	φ	θ	ω1 рад/c	ω4 рад/c	V точек	ω звена	a точки	ε звена
							-	В,K	DE	В	АВ
						-		А,E	DE	A	AB
							-	B,K	AB	B	AB
						-		A,E	DE	A	AB
							-	D,K	AB	B	AB
						-		A,E	AB	A	AB
							-	B,E	DE	B	АВ
						-		A,K	DE	A	AB
							-	D,E	AB	B	AB
						-		A,K	AB	A	AB

4.2.6. Пример решения К-2

Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна Е, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами (рис. К-2).

Дано: l₁=0,4 м, l₂=1,2 м, l₃=1,4 м, l₄=0,6 м, α= 30º, β=60º, γ=30º, φ=0º, θ=120º; AD=DB; ω₁ = 5 рад/c с направлением - по ходу часовой стрелки.

Определить: v_B, v_E, a_B, ω_AB, ε_AB.

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К-2, а).

Кинематический анализ:

- звенья О₁А и О₂В совершают вращательное движение;

- звенья АВ и DE совершают плоскопараллельное движение;

- ползун Е движется поступательно.

2. Для того, чтобы определить скорость точки В, принадлежащей звену АВ, необходимо найти скорость какой-либо точки этого звена. Такой точкой является точка А, принадлежащая одновременно и звену О₁А, совершающему вращательное движение с угловой скоростью ω₁ = 5 рад/c по ходу часовой стрелки относительно неподвижного шарнира в точке О₁. Точка А движется вместе с кривошипом О₁А по окружности радиуса, равного длине звена l₁=0,4 м. Скорость точки А может быть определена выражением: v_A = ω₁l₁=5·0,4=2 (м/c). Вектор скорости точки А перпендикулярен звену 1 (О₁А) и направлен в сторону вращения кривошипа.

3. На основании теоремы о проекциях скоростей двух точек, принадлежащих телу, совершающему плоское движение, находим направление и модуль скорости точки В:

, , v_В = 3,46 (м/с). Вектор скорости точки В перпендикулярен звену 4 (О₂В), поскольку точка В вместе со звеном 4 совершает движение по окружности радиуса l₄.

4. Для определения линии действия вектора скорости точки D построим мгновенный центр скоростей (МЦС) звена АВ: МЦС_АВ(3) – точка С, лежащая на пересечении перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к векторам их скоростей . Вектор скорости точки D перпендикулярен отрезку DС – расстояние от точки D до мгновенного центра скоростей звена АВ, которому точка D принадлежит.

5. Определяем угловую скорость звена АВ: ω_АВ(3)= v_A / АС, где АС - катет, лежащий против угла равного 30⁰, АС = 0,5·АВ=0,7 (м); ω_АВ(3)= 2 / 0,7=2,86 (рад/с).

6. Определяем линию действия, направление и модуль вектора скорости ползуна, принятого за материальную точку Е.

Линия действия вектора параллельна направляющим ползуна (совпадает с осью ползуна), который движется поступательно. Направление вектора и его модуль находим, используя теорему о проекциях скоростей двух точек, принадлежащих одному и тому же телу, совершающему плоское движение:

, , v_E = v_D= v_A= 2 (м/с).

7. Определяем . Точка В принадлежит звену АВ. Чтобы найти её ускорение, необходимо знать ускорение какой-нибудь точки этого звена (полюса) и траекторию точки В. Точка В движется по окружности вместе с кривошипом О₂В, и поэтому направление вектора заранее известно.

Ускорение точки В при плоском движении тела равно геометрической сумме ускорения полюса А и ускорения точки В при вращении вокруг полюса А:

.

Разложив векторы ускорений на составляющие по естественным осям, получим следующее векторное равенство:

.

Векторы ускорений будут направлены следующим образом: вектор – по радиусу О₂В к центру О₂ окружности; вектор – перпендикулярно О₂В в любую сторону; вектор – по радиусу О₁А к центру О₁ вращения; вектор – по радиусу ВА к центру А вращения; вектор – перпендикулярно ВА в любую сторону. Поскольку по условию задачи точка А, принадлежащая звену О₁А, движется равномерно, то её касательное ускорение равно 0 , и поэтому на чертеже вектор не изображаем.

8. Спроецируем обе части уравнения на координатные оси X и Y:

9. Определяем , , :

10. Подставляя известные значения в уравнения, полученные при проецировании векторной суммы, находим и : = -1,66 (м/с²),

= 20,07(м/с²). Знак «-» означает, что вектор касательного ускорения точки В фактически имеет направление противоположное выбранному в ходе решения задачи.

11. Находим полное ускорение точки В:

12. Угловое ускорение звена АВ определяется выражением:

Ответ: v_B=3,46(м/с), v_E =2(м/с), a_B =20,02(м/с), ω_AB=2,86(м/с), ε_AB=14,34(рад/с²).

5.2. Задание Д -1. Динамика материальной точки