Определение 4

Будем называть разностную схему (2) с линейным оператором L_hустойчивой, если при любой правой части f_hÎF_h уравнение имеет единственное решение u_hÎU_h, причем

(6)

где С – некоторая постоянная, не зависящая от h.

Можно показать, в случае линейности разностного оператора L_h определения устойчивости 3 и 4 равносильны.

Теорема 1 (теорема Лакса о сходимости).

Пусть разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1) на решении u с порядком h^k и устойчива.

Тогда решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи , причем имеет место оценка

где С – некоторая постоянная, не зависящая от h.

Эта теорема позволяет свести вопрос о важнейшей с практической точки зрения проблеме исследования сходимости к вопросу исследования аппроксимации и устойчивости.

Доказательство:

Положим и . Тогда определение устойчивости (5)