Замечания 8.8

1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.

2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.

Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и принадлежат сумме , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:

Найдем сумму:. Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение:. Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, — линейное подпространство.

3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , называется пересечение всех подпространств , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если — линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: ).

Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства является минимальным линейным подпространством, содержащим , т.е. .

Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть — любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор . Поэтому вектор принадлежит любому подпространству , содержащему . Значит, принадлежит пересечению таких подпространств. Таким образом, . Из двух включений и следует равенство .

5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).

7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:

Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):

(8.13)

В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:

(8.14)

Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем. Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:

что и требовалось доказать.

Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке заданы подпространства: и — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке прямым и соответственно; и — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.

Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .

Найдем сумму . Любой вектор пространства можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора проводим прямую, параллельную прямой (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на плоскость . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .