2015-02-27
332
На практике бесконечную сумму считать невозможно и мы имеем конечную сумму.
Какова же ошибка?
(13)
многочлен – n -го порядка по ортогональной системе.
Поставим задачу. При каких 
, многочлен 
ближе к 
, т.е. ошибка наименьшая. Под ошибкой будем понимать ошибку по норме (т.е. в точках могут быть большие отклонения)
(14)
и спрашивается при каких 
будет минимальным 
(15)
Считая функции f и 
действительными, имеем
(16)
Теперь имеем 
минимум достигается, если
(17)
условие экстремума
или 
, или из (16)
Откуда,
(18)
Осталось определить тип экстремума. Он зависит от знака 
(19)
т.е. экстремум - это абсолютный минимум.
Таким образом, разложение Фурье по ортогональной системе обеспечивает минимум ошибки
(20)
с учётом связей ясно, что 
, т.к. это число есть min. неотрицательной нормы.
Из того, что 
следует
, (21.1)
где 
- многочлен.
И это неравенство имеет смысл при 
, (21.2)
где - функция.
Это неравенство Бесселя.
Но если 
, то неравенство Бесселя сводится к неравенству Парсеваля
(22)
|
|
|
- функция, и 
Отсюда выводы, чтобы ошибка была = 0 надо иметь полную ортогональную систему, т.е. все собственные функции.
Соответствующая теорема имеет вид.
Теорема. Для того, чтобы ортонормированная система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы для любой 
в этом же классе выполнялось равенство Парсеваля.
, (22)
где 
- коэффициенты разложения в ряды Фурье.
Воспользуемся соотношениями Парсеваля.
(23’)
Вычтем из первого второе
левая часть из (22)
(24)
из (22)
Более подробно:
(25)
откуда и следует ответ.
В (13) мы применили замену функции 
многочленом . Для минимизации ошибки, Чебышев показал, что любая непрерывная функция на интервале [a,b] лучше всего представима многочленами (в смысле минимума ошибки), если в качестве многочлена будут взяты многочлены Чебышева.
Полином Чебышева: первого рода
второго рода
(26)
T0(x) = 1
T1(x) = x
T2(x) = 2x - 1
T3(x) = 4x3 - 3x
T4(x) = 8x4 - 8x +1
T5(x) = 16x5 - 20x3+5x
U0(x) = 1
U1(x) = 2x
U2(x) = 4x2 - 1
U3(x) = 8x3 - 4x
U4(x) = 16x4 - 12x2 +1
