Теорема 5. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда
(14)
где Формула (14) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Доказательство. Так как то функция является первообразной для функции .
По формуле Ньютона-Лейбница
Преобразуем левую часть:
Отсюда вытекает формула (5.18).
6. Вычисление площадей плоских фигур.
Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке .
Рис.2
Рассмотрим на плоскости фигуру, ограниченную графиком функции на отрезке , отрезком и вертикальными прямыми и . Эту фигуру называют криволинейной трапецией.
Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции на отрезке :
. (15)
Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенные между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле
. (16)
Рис.3
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью .
|
|
По формуле (15) имеем
Замечание 1. Если функция неположительна и непрерывна на отрезке . Тогда площадь под этой кривой на отрезке задается формулой
. (17)
Замечание 2. Площадь фигуры, ограниченными линиями
, вычисляется по формуле
(18)
Рис.4