Пусть дан интеграл , где функция непрерывна на отрезке Введем новую переменную .
Теорема 4. Пусть функция дифференцируема на отрезке , причем непрерывна на и , . Тогда справедлива формула
. (13)
Формула (13) называется формулой интегрирование подстановкой или замены переменной.
Доказательство. Пусть и -некоторые первообразные для функций и . Тогда из теоремы Лагранжа найдется такое число , что где . Поэтому
.
Но по формуле Ньютона-Лейбница совпадает справой частью (13), а - с левой частью (13).
Пример. .