Важными свойствами бинарной операции являются свойства ассоциативности, коммутативности, существования нейтрального элемента (левого, правого, двухстороннего), существования обратного элемента (левого, правого, двухстороннего), наличие нулей и идемпотентов. Сформулируем основные свойства бинарных операций в виде условий, называемых также аксиомами:
А1. Аксиома ассоциативности:
а, b,с А, (а * b) * с = а * (b * c);
А2. Аксиома коммутативности:
а, b А, а * b = b * a;
A3. Аксиома существования левого нейтрального элемента:
e' A | a A, e' * a = a;
A4. Аксиома существования правого нейтрального элемента:
e'' A | a A, a * e''= a;
А5. Аксиома существования нейтрального элемента (двухстороннего):
е А | а А, е * а = а * е = а;
А6. Аксиома левого симметричного элемента:
a A а' А | а' * а = e;
А7. Аксиома правого симметричного элемента:
a A а'' А | а * а'' = e;
А8. Аксиома существования симметричного элемента (двухстороннего):
a A А | * а = а * = е.
О п р е д е л е н и е 4:Говорят, что бинарная операция * на множестве А:
· коммутативна, если выполняется условие А2,
|
|
· ассоциативна, если выполняется условие А1`,
· обладает нейтральным элементом (левым, правым), если выполняется А5 (A3, А4),
· обратима (слева, справа), если выполняется А8 (А6, А7).
П р и м е р 4. Исследовать свойства бинарной операции *, заданной на множестве Q по правилу:
a,b Q, а * b = а – ab + 1.
Р е ш е н и е:
1. Проверка условия выполнимости. Так как сумма, произведение, разность рациональных чисел являются рациональными числами, то результат операции а – ab + 1 есть рациональное число. Операция * выполнима на Q.
2. Проверка условия однозначности. Операции сложения, умножения, вычитания рациональных чисел ― однозначны. Следовательно, и операция *, которая определяется через них, будет однозначной.
3. Проверка аксиомы ассоциативности. Возьмем любую тройку элементов а, b, с из множества Q и проверим выполнимость равенства: (а * b) * с = а * (b * с). Раскрывая левую часть этого равенства, получаем:
(а * b) * с = (а – ab + 1) *c = (a – ab +1) – (a – ab + 1)с+1 =
= a – аb – aс + abc – c + 2.
Раскрывая правую часть рассматриваемого равенства, получаем:
а * (b * с) = а * (b ― bc + 1) = а ― а(b ― bc + 1) + 1 =
=1– ab+ abc.
Результаты различны, поэтому операция * неассоциативна.
4. Проверка аксиомы коммутативности:
а, b Q, а * b = b * a.
Так как a*b = a–ab+1,b*a= b – ba + 1, то при а b результаты различны. Итак, операция * некоммутативна.
5. Проверка наличия нейтральных элементов:
а) Из аксиомы A3 имеем: х * а = а или х – ха + 1 = а, откуда х = –1. Следовательно, существует левый нейтральный элемент е' =1.
б) Из аксиомы А4 имеем: а * х = а или а – ах + 1 = а, откуда . Здесь х зависит от а. Следовательно, правого нейтрального элемента нет.
|
|
в) Из пунктов а) и б) следует, что нейтрального (двухстороннего) элемента нет.
6. Проверка наличия симметричных элементов.
Для выполнения аксиом А6 и А7 необходимо наличие двухстороннего нейтрального элемента e относительно заданной операции. Так как такой элемент отсутствует, то операция * не обладает симметричными элементами.
Упражнения
1. Является ли операцией и какого ранга вычитание на множестве R? В случае положительного ответа перечислить основные свойства операции.
2. Исследовать свойства операции *, заданной на множестве R формулами:
а) а * b = (а + b)2; б) а * b = а2 +1;
в) а * b = 2а + b –1; г) а * b = ab–a+b;
д) а * b = ab; е) а * b = a2b–ab2.
Зачетная контрольная работа
1. Доказать:
1) ;
2) А \ (В С) = ((А \ В) \ С);
3) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C);
4) А \ В = А \ (В А);
5) А \ (А \ В) = А В;
6) А (В \ С) = (А В) \ (А С);
7) А В = А (В \ А);
8) (А В) \ С = (А \ С) (В \ С);
9) ( В) А=A B;
10) (А \ В)\С = (А\С)\ (В\С).
2. Построить таблицу истинностных значений данных формул исчисления высказываний:
1) А & ∨ ; 6) A∨ C;
2) A ∨ ( ); 7) & C;
3) (А В) ∨ A; 8) A ∨ ;
4) А & ; 9) A&(B C);
5) (A B)&(A∨C); 10) A B .
3. Построить отрицание следующих формул:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
4. Какими свойствами обладает данное соответствие на множестве R?
1) f: R R, f: x kx + b;
2) f: R R, f: x x3;
3) f: R R, f: x ;
4) f: R R, f: x |x|;
5) f: R R, f: x sin x;
6) f: R R, f: x cos x;
7) f: R R, f: x tg x;
8) f: R R, f: x ctg x;
9) f: R R, f: x lg x;
10) f: R R, f: x ax, a R.
5. Какими свойствами обладает данное отношение на множестве R?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
6. Доказать методом математической индукции:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .