Постановка задачи: Для обыкновенного дифференциального уравнения
(1)
с начальным условием , применяя указанные ниже методы, найти с заданной точностью приближенное решение на отрезке :
Метод Эйлера с уточнением. За начальное приближение значения функции на -ом шаге берется величина
(2)
которая затем уточняется по итерационной формуле
(3)
до тех пор не выполнится условие
(4)
Метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности. Решение находится по формулам
(5)
Для достижения заданной точности использовать метод двойного пересчета: по формулам (5) находится при заданном шаге и значение , определяемое по тем же формулам при половинном шаге; если не выполняется неравенство
(6)
то шаг снова следует уменьшить вдвое и проверить истинность оценки (6) для полученных приближений.
Дополнительные вопросы:
1. Какова точность метода Эйлера с уточнением? Показать, что метод Рунге-Кутты имеет 4-ый порядок точности.
2. Вывести формулы (2), (3), (5) дать их геометрическую интерпретацию. Обосновать оценки (4), (6).
3. Обобщить метод Рунге-Кутты на систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
Продемонстрировать решение этим методом на системе уравнений Лотки-Вольтерра «хищник-жертва»
где — положительные константы, Построить графики точного и приближенного решений на фазовой плоскости .
4. Исследовать аналитическое и численное решения неустойчивой задачи Коши
где — малый параметр. Сравнить решения при значениях и при . Построить графики решений.