В декабре 1914 г. произошло сражение между английской и немецкой эскадрами у Фолклендских островов () южной широты).
По свидетельству английского морского офицера немецкие корабли обстреливались с максимальной дистанции (порядка 15 км), причем снаряды ложились левее цели примерно на сотню ярдов (примерно 90 м), хотя были пристреляны еще в Англии (примерно на северной широты).
Рассмотрим полет снаряда на широте (рис. 5.3). Уравнение динамики относительного движения:
,
где – скорость снаряда относительно Земли, – сила тяжести, считаемая постоянной в рассматриваемой области, – аэродинамическая сила. Для простоты примем тогда уравнение примет вид:
. (1)
Линейное дифференциальное уравнение может быть решено точно; мы построим здесь приближенное методом последовательных приближений.
z |
Рис 5.3. Отклонение снаряда |
xz |
y |
z |
Нулевое приближение получим, приняв , откуда
. (2)
Первое приближение получим, подставив (2) в правую часть (1):
откуда
|
|
. (3)
Если ограничиться линейными членами относительно малой величины (, то этого приближения достаточно.
Сумма это движение тела без учета вращения Земли; слагаемое объясняет отклонение падающих тел к востоку (в северном и южном полушариях). Слагаемое описывает отклонение снаряда вправо от направления стрельбы в северном полушарии и влево – в южном. Чтобы оценить это отклонение, будем считать для простоты траекторию настильной, т.е. . Проинтегрируем это слагаемое и найдем проекцию вектора положения на направление оси (вправо от направления стрельбы):
.
В южном полушарии знак отрицательный, так как , и снаряд отклоняется влево, поэтому при стрельбе в южном полушарии из орудия, пристрелянного в северном, отклонение удваивается.
Точное решение уравнения (1) в учебниках отсутствует; возможно, причина в громоздкости, если решать его в координатном виде. В векторном виде решение проще.
Решение неоднородного уравнения (1) равно сумме решений однородного уравнения и частного решения. Вспомнив формулу Пуассона (4.15) , решение однородного уравнения запишем в виде , где – произвольный постоянный вектор. Частное решение найдем методом вариации произвольных постоянных:
Подставим это выражение в уравнение:
,
откуда (примем и, следовательно, .
Записывая и вспоминая представление Эйлера для тензора поворота , получим точное решение:
.
Разлагая тригонометрические функции в ряды и, удерживая члены с первой степенью , получим приближенное решение (3).