Из определения тензора инерции , вычисляемого в актуальном положении твердого тела, ясно, что тензор инерции зависит от времени. Разложим вектор и единичный тензор по базису , жестко связанному с телом (рис. 5.6):
.
Тензор инерции примет вид , где координаты постоянные
величины, а – это повернутые вместе с телом постоянные векторы
и в отсчетном, например, при положении. Таким образом, это повернутый вместе с телом («вмороженный» в тело) постоянный тензор, т. е. , где
. (5.20)
Рис. 5.6. Тензор инерции |
B |
B |
dm |
Далее мы будем говорить о постоянном тензоре , координаты которого называются моментами инерции. Из (5.20) ясно, что тензор инерции симметричный , т. е. . Формально координаты тензора в ортонормированном базисе вычисляются с помощью скалярного умножения тензора слева на , а справа на :
. (5.21)
Из (5.20) получим:
(5.22)
где квадрат расстояния от элемента до «k»– й оси,
. (5.23)
Моменты инерции (5.22) называются осевыми, а(5.23) – центробежными.
|
|
Из (5.22) следуют своеобразные «правила треугольника»:
Например, ,
причем ясно, что равенство возможно только в тех случаях, когда у всех точек тела координата ; например, если тело – бесконечно тонкий стержень или бесконечно тонкая пластина.