Методы решения уравнений и неравенств
С целой и дробной частью
При решении уравнений и неравенств, содержащих целую и дробную части, можно применить следующие методы:
1. Метод перехода.
2. Функционально-графический метод.
3. Метод разложения на множители.
4. Метод замены переменной.
Метод перехода
Метод заключается в использовании определений и свойств целой или дробной части числа.
Задача 1. Решите уравнение = .
Решение. = - простейшее тригонометрическое уравнение. Его решениями будут:
Так как принимает только целые значения, а - число иррациональное, то из двух равенств совокупности выполняется только первое при .
Таким образом, и уравнение равносильно двойному неравенству . Решая неравенство, получаем .
Ответ: .
Задача 2. Решите уравнение .
Решение. Так как целая часть левой части уравнения равна 1, то данное уравнение примет вид .
Любое число можно представить в виде суммы целой и дробной частей, поэтому неравенство можно записать в виде или , где .
|
|
Зная, что принимает целые значения, а , можно сделать вывод, что неравенство (1) верно при и , и неверно при , , .
При неравенство (1) имеет место лишь при .
Таким образом, неравенство (1) выполняется при и , т.е. при и при и , т.е. при .
Ответ: .
Задача 3. Решите уравнение .
Решение. Так как , то .
Полученное уравнение равносильно уравнению , при .
По формуле получим 0.
Задача 4. Решите неравенство .
Решение. Если неравенство справедливо при , то выполняется неравенство .
Так как , то исходное неравенство равно сильно неравенству .
Решением последнего неравенства являются .
Ответ: .
Творческое задание: Сконструировать задачи с целой и дробной частью, решаемые с применением метода перехода.