Примеры решения задач. Решение. Рассмотрим некоторый промежуток

1. Вычислите.

Решение. Рассмотрим некоторый промежуток. Если ряд сходится равномерно на этом промежутке, то можно переходить к пределу под знаком суммирования и тогда

. Осталось доказать равномерную

сходимость ряда на данном множестве. Более того, можно утверждать, что ряд сходится

равномерно на [0; + ∞). Действительно, " x ≥ 0 верно соотношение, а ряд

сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим по модулю 1.

Следовательно, ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса и был законным предельный переход.

2. Покажите, что функциональная последовательность равномерно сходится на сегменте [0; 1], но условия теоремы о почленном дифференцировании не

выполнены и.

Решение. Покажем, что последовательность сходится равномерно на

x Î [0; 1].

Сначала найдем. Так как

, то, согласно практическому

критерию, последовательность сходится равномерно на сегменте [0;1]

Теперь докажем, что равномерная сходимость последовательности fn' (x) на сегменте [0; 1] не имеет места.

Найдем fn' (x). Для любого номера n.

Найдем предел.

Для оценки воспользуемся неравенством

.

Отсюда.

Согласно практическому критерию, равномерная сходимость последовательности { fn' (x 0)} на сегменте [0; 1] не имеет места.

Вычислим и.

Очевидно,.

ГЛАВА XIX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. § 3