Движение, которое повторяется через равные промежутки времени, называется колебательным. Промежуток времени T, по истечение которого движение повторяется, называется периодом колебания. В моменты времени t и t + Т частица имеет одно и то же положение и одну и ту же скорость. Величина ν, обратная периоду, называется частотой: ν = 1/ Т. Она определяет, сколько раз в секунду повторяется движение, и измеряется в герцах (Гц). Круговой (циклической) частотой называется величина ω = 2 π v.
Свободные (собственные) колебания –колебания, происходящие без внешних воздействий за счет первоначально полученной телом энергии. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник жесткостью k и массой m, помещенный в среду с коэффициентом сопротивления r, на который вдоль оси х действует переменная внешняя сила F(t), изменяющаяся со временем, например, по гармоническому закону F(t) = F0 · cosΩt с некоторой частотой Ω.
Уравнение движения маятника:
(1), где сила упругости FУПР пропорциональна смещению х, а сила трения (сопротивления) FТР среды – скорости υ= dx/dt. Перепишем (1) по другому:
|
|
(2),
где введены обозначения
Проанализируем уравнение (2).
1. Свободные гармонические незатухающие колебания.
Маятник в отсутствие силы трения (r =0) и внешней силы (F0= 0) отведен от положения равновесия и отпущен. Уравнение движения имеет вид:
(3).
Его решением является гармоническая функция: (4),
в чем легко убедиться, подставив (4) в (3).
В (4) xm, ω 0 и φ0 – постоянные величины. xm – амплитуда – величина, указывающая максимальное значение координаты х при отклонении от положения равновесия, ω 0 – собственная частота, аргумент косинуса носит название фазы колебания; φ0 — начальная фаза колебания (в момент t = 0).
Частота колебаний зависит только от свойств колеблющейся системы, но не от амплитуды, а амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями ее движения, выводящими систему из состояния покоя.
Скорость колеблющейся частицы равна: (5).
Ускорение частицы при таком движении: (6). На рис. приведены зависимости x(t), υ(t) и a(t) для φ0 =0.
Складывая кинетическую энергию с потенциальной, найдем полную энергию частицы, колеблющейся под действием упругой силы:
(7).
Т.о., полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии изменяются со временем, как sin2(ω0·t + φ0) и cos2(ω0·t + φ0), так что когда одна из них увеличивается, другая – уменьшается, т.е. процесс колебаний связан с периодическим переходом потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Средние за период колебания значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы и равны W/2. Т.о., если на тело действует сила, пропорциональная величине смещения частицы х и направленная в сторону, противоположную этому смещению (таковы, например, упругая сила, F=– k·x, действующая на пружинный маятник, или сила тяжести, действующая на математический или физический маятники), то оно совершает т.н. гармонические колебания (движение совершается по закону синуса или косинуса).
|
|
Примечание: В механике обычно рассматривают колебания: – математического маятника с периодом , где ℓ– длина маятника;
– физического маятника с периодом , где J– момент инерции маятника, a – расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс;
– пружинного маятника с периодом , где k– жесткость пружины.