Задачи №№31-40

Задачи №№ 31-40 следует решать после изучения раздела 2 "Кинематика" и раздела 3 "Динамика", а также внимательного разбора примеров 4, 5, 6, 7.

Изучив тему "Кинематика точки", обратите внимание на то, что криволинейное движение точки, как неравномерное, так и равномерное, всегда характеризуется наличием нормального (центростремительного) ускорения. При поступательном движе­нии тела применимы все формулы кинематики точки. Формулы для определения угловых величин тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеют аналогичный вид с формулами для оп­ределения соответствующих линейных величин поступательно движущегося тела (табл. 5).

Таблица 5

Основные параметры	Поступательное движение	Вращательное движение
Кинематика	Расстояние Скорость Ускорение	s = f(t) V = S' a,= V'	φ = f(t) ω = φ' ε = ω'

Для решения задач раздела "Кинематика" нужно использовать со­ответствующие готовые уравнения и формулы, выведенные в учебниках.

Решение задач следует иллюстрировать рисунками.

Для того чтобы успешно решить задачи по разделу "Дина­мика" необходимо разобраться в физическом смысле аксиом ди­намики, научиться использовать основанный на принципе Даламбера метод кинетостатики, который позволяет применять уравне­ния равновесия статики для тел, двигающихся с ускорением.

При этом не нужно забывать, что сила инерции прикладыва­ется к телу, двигающемуся с ускорением условно и в действи­тельности на него не действует.

Следует разобраться в физическом смысле понятий работы и мощности, изучить законы динамики для случаев поступательно­го и вращательного движения тел.

Так же, как в кинематике, в динамике между формулами для расчета поступательного и вращательного движений существует аналогия, иллюстрируемая таблицей 6.

Таблица 6

Основные параметры	Поступательное движение	Вращательное движение
Динамика	Силовое воздействие Мера инертности Основной закон динамики Работа Мощность Кинетическая энергия	Сила F Масса m F = т·а W = F·S P = F·V	Момент М Динамический момент инерции J M = J · ε W=M · φ Р = M · ω

Пример 4

Поезд движется со скоростью 50 км/ч пор криволинейному участку пути радиусом 400 м. Определить ускорение поезда и пройденный путь за три минуты.

Решение

Движение поезда равномерное, т.к. V=const, поэтому его ускорение

тогда

Определяем путь, пройденный поездом за t=3 мин=180 с.

S= V · t = 13,89 ·180 = 2500 м = 2,5 км.

Пример 5 '

Колесо локомотива вращается так, что точка, лежащая на расстоянии 0,6 м от центра, движется по закону S = 0,6 • t + 0,2 • t³ (S - в метрах, t - в секундах). Найти для мо­мента времени t=3 с величину угловой скорости и углового уско­рения.

Решение

Определяем закон изменения скорости точки

Скорость точки в момент времени t_i=3 с:

Угловая скорость тела в момент времени t_i=3 с

Закон изменения ускорения точки:

Касательное ускорение точки в момент времени ti=3 с:

Угловое ускорение тела в момент времени ti=3 с:

Пример 6

В момент выключения якоря тягового двигателя маховик имел частоту вращения 210 об/мин. Сколько оборотов сделал он до полной остановки при замедлении е = -0,628 рад/с? Какова продолжительность торможения?

Решение

Маховик вращается равнозамедленно, его движение опреде­ляется уравнением

Уравнение угловой скорости имеет вид:

ω = ω₀ + ε · t

В момент остановки ω = 0, следовательно:

ω₀ = -ε · t

Выразим угловую скорость в рад/с

Тогда

Определяем угловое перемещение:

Зная, что один оборот, измеренный в радианах, выражается отвлеченным числом 2-л, определяем число оборотов маховика до остановки:

Пример 7

Мостовой кран опускает груз с начальной скоростью V₀ = 0,5 м/с и через t=2 с останавливается. Вес груза 2500 Н. Определить в момент спуска натяжения Т каната, к которому подвешен груз. Движение считать равнозамедленным.

Решение

На груз действуют следующие силы: вес груза, направленный вертикально вниз, и реакция каната, направленная вертикально вверх (рис. 9).

Приложим к грузу силу инерции Fu = mа, направленную противоположно ускорению, т.е. вертикально вниз.

Воспользуемся принципом Даламбера. Из условия равновесия сил, действующих по одной прямой, имеем:

Рис. 9

T - Fu - G = 0, или T = Fu + G.

Из уравнения скорости равнозамедленного движения опре­делим ускорение:

следовательно,

Определяем величину силы инерции:

Fu = m · a

В эту формулу ускорение a вводится по абсолютной величине, следовательно, имеем

Сила натяжения каната

Т = P_u+ G = 63,8 + 2500 = 2563,8 H.

Пример 8

Найти силу, действующую в зацеплении зубьев шестерни и колеса, если диаметр шестерни 210 мм. Передаваемая мощность 200 кВт при частоте вращения 1200 об/мин.

Решение

Мощность при вращательном движении определяется по формуле:

P = M · ω

отсюда

Искомая сила