Груз массой , получив в точке начальную скорость , движется в изогнутой трубе , расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0–Д1.9, табл. Д1).
Рис. Д1.0 Рис. Д1.1
Рис. Д1.2 Рис. Д1.3
Рис. Д1.4 Рис. Д1.5
Рис. Д1.6 Рис. Д1.7
Рис. Д1.8 Рис. Д1.9
Таблица Д1
Номер условия | , кг | , м/с | , Н | , Н | , м | , с | , Н |
0,4 | – | 2,5 | 2 | ||||
2,4 | 0,8 | 1,5 | – | ||||
4,5 | 0,5 | – | 3 | ||||
0,6 | – | –3 | |||||
1,6 | 0,4 | – | 4 | ||||
0,5 | – | –6 | |||||
1,8 | 0,3 | – | |||||
0,8 | 2,5 | – | -8 | ||||
0,5 | – | 2 | |||||
4,8 | 0,2 | – | –6 |
На участке на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения).В точке груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила , проекция которой , на ось задана в таблице.
|
|
Считая груз материальной точкой и зная расстояние или время движения груза от точки до точки , найти закон движения груза на участке , т.е. , где .
Указания. Задача Д1 – на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке , учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке или длину этого участка, определить скорость груза в точке . Эта скорость будет начальной для движения груза на участке . После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке , и полагая в этот момент . При интегрировании уравнения движения на участке в случае, когда задана длина участка, целесообразно перейти к переменному , учтя, что
.
Пример Д1.
На вертикальном участке трубы (рис. Д1) на груз массой действуют сила тяжести и сила сопротивления ; расстояние от точки , где , до точки равно . На наклонном участке на груз действуют сила тяжести, сила трения скольжения с коэффициентом и переменная сила , заданная в ньютонах.
Дано: кг, , где кг/м, м/с, м, .
Определить: на участке .
Решение:
1. Рассмотрим движение груза на участке , считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и . Проводим ось и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
|
|
, или, . (1)
Далее находим , . Подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что , получим
, или . (2)
Введем для сокращения записей обозначения:
м–1, м2/с2, (3)
где при подсчете принято м2/с2. Тогда уравнение (2) можно представить в виде:
. (4)
Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим
и . (5)
По начальным условиям при , что дает и из равенства (5) находим или . Отсюда
и .
В результате находим:
. (6)
Полагая в равенстве (6) м, и заменяя и их значениями (3), определим скорость ив груза в точке ( м/с, число ):
и м/с. (7)
2. Рассмотрим теперь движение груза на участке . Найденная скорость будет для движения на этом участке начальной скоростью (). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы , , и . Проведем из точки оси и и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось :
,
или
, (8)
где . Для определения составим уравнение в проекции на ось . Так как , получим , откуда . Следовательно, . Кроме того, и уравнение (8) примет вид:
. (9)
Разделив обе части равенства на , вычислив и , подставим эти значения в (9). Тогда получим:
. (10)
Умножая обе части уравнения (10) на и интегрируя, найдем:
. (11)
Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке , считая в этот момент . Тогда при , где дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим
.
При найденном значении уравнение (11) дает:
. (12)
Умножая здесь обе части на и снова интегрируя, найдем
. (13)
Так как при , то и окончательно искомый закон движения груза будет
. (14)
где – в метрах, – в секундах.
Ответ: , – в метрах, – в секундах.