Интерполяционные формулы Ньютона

При получении интерполяционных формул Ньютона, которые используются для тех же целей, что и формула Лагранжа, сделаем дополнительное предположение, что рассматриваются равноотстоящие значения аргумента. Итак, пусть значения функции у = f (x) заданы для равноотстоящих значений x₀, x₁ = x₀ + h, …, x_n = x₀ + nh. Этим значениям аргументов будут соответствоватьзначенияфункции: у₀ = f(x₀),у ₁ = f(x₁), …, y_n = f(x_n).

Запишем искомый многочлен в виде

F (x) = a ₀ + a ₁(x - x ₀) + a ₂(x - x ₀)(x - x ₁) + a ₃(x - x ₀)(x - x ₁)(x - x ₂) + …

…+ a _n(x - x ₀)(x - x ₁)…(x - x _n-1) (3.9)

Для определения коэффициентов a₀, a₁,..., а_n положим в (3.9) х = х₀. Тогда у ₀ = F (x ₀) =а ₀. Далее, полагая x=x ₁, получим у ₁ = F (x₁) = a ₀ + а ₁ h, откуда

a₁ =

Продолжая вычисления коэффициентов, положим х = х₂. Тогда

y ₂ = y ₀ + 2 h + a ₂2 hh, y ₂ – 2Δ y ₀ = a ₂2 h ²;

y ₂ – 2 y ₁ + 2 y ₀ – y ₀ = y ₂ – 2 y ₁ + y ₀ = a ₂2 h ².

Исходя из (3.8), получаем y ₂ – 2 y ₁ + y ₀ = Δ ² y _0.

Поэтому

Точно так же получим

Аналогичные дальнейшие вычисления позволяют записать общую формулу для любого коэффициента а _k:

Подставим найденные выражения коэффициентов в формулу (3.9), получим

(3.10)

Полученная формула и называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Для практического использования формулу Ньютона (3.10) обычно записывают в преобразованном виде. Для этого введем обозначение

отсюда х = х₀ + ht.

Выразим через t множители, входящие в формулу (3.10):

………………………..

Подставив полученные выражения в формулу (3.10), окончательно получаем

(3.11)

Выражение (3.11) представляет окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона.

Пример. Приняв шаг h = 0,05,построить на отрезке [3,5; 3,7] интерполяционный полином Ньютона для функции y = e^x,заданной табл. 3.3.

Таблица 3.3

x	3,50	3,55	3,60	3,65	3,70
y	33,115	34,813	36,598	38,475	40,447

Решение. Составим таблицу разностей

Таблица 3.4

х	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
3,50 3,55 3,60 3,65 3,70	33,115 34,813 36,598 38,475 40,447

Заметим, что в столбцах разностей, следуя обычной практике, мы не отделяем запятой десятичные разряды, которые ясны из столбца значений функций.

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3.11) полагаем n = 3. Приняв х ₀ = 3,50 и у ₀ = 33,115, будем иметь:

где

Первая интерполяционная формула Ньютона неудобна для интерполирования функции в конце таблицы, где число значений разностей мало. В этом случае применяется вторая интерполяционная формула Ньютона, которую мы сейчас и рассмотрим.

Напишем искомый интерполяционный многочлен в виде

(3.12)

Как и ранее, коэффициенты а ₀, а ₁,… а _n определяются из условия F (x _i) = y _i. Положим в (3.12) х = х _n. Тогда a ₀ = y _n.

Точно так же, полагая x = x _n-1, получим y _n-1 = y _n + a ₁(x _n-1 - x _n),

а так как x _n-1 – x _n = - h, то

Далее, полагая в (3.12) x = x _n-2 и, заменяя найденные коэффициенты а ₀, а ₁ их значениями, получаем

Числитель последнего выражения можно представить так:

y _n – y _n-1 – ( y _n-1 - y _n-2) = Δ y _n-1 - Δ y _n-2 = Δ ² y _n-2.

Поэтому

Продолжая аналогичные вычисления, получим общую формулу для коэффициентов

После подстановки в (3.12) всех значений коэффициентов эта формула примет вид

(3.13)

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Для удобства применения ее, как и первую, преобразуют, введя обозначения

= t или x = x _n + th.

Выразим теперь через t множители в формуле (3.13):

……………………………………………..

Произведя такую замену, окончательно получим:

(3.14)

Пример. По табл. 3.5 значений семизначных логарифмов для чисел от 1000 с шагом 10 найти lg 1044.

Таблица 3.5

x	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	3,0000000 3,0043214 3,0086002 3,0128372 3,0170333 3,0211893		-426 -418 -409 -401

Примем x _n = 1050, y _n = 3,0211893; Δ y _n-1 = 0,0041560;

Δ² y _n-2 = - 0,0000401;Δ³ y _n-3 = 0,0000008.Тогда для x = 1044 получаем

t =

Как первая, так и вторая интерполяционные формул Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функций, т. е. для нахождения значений функций для значений аргументов х, лежащих вне пределов таблицы. Еслизначение x < x ₀ и значение x близко к x ₀, то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем

Еслиже x > x ₀ и x близко к х _п, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, – используется для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Пример. Имея табл. 3.6 значений и разностей,у = sin х: в пределах от х = 15 ° до х = 55 ° с шагом h = 5 °, найти sin 14 ° и sin 56 °.

Таблица 3.6

x (0C)	y	Δ y	Δ2 y	Δ3 y
	0,2588 0,3420 0,4226 0,5000 0,5736 0,6428 0,7071 0,7660 0,8192	832 532	-26 -32 -38 -44 -49 -54 -57	-6 -6 -6 -5 -5 -3

Решение. Для вычисления sin14 ⁰ примем x ₀ = 15 ⁰ и x = 14 ⁰, отсюда t = (14–15)/5 = – 0,2.

Здесь следует выполнить экстраполирование назад, поэтому применим первую интерполяционную формулу Ньютона и подчеркнутые одной чертой конечные разности:

sin14⁰ = 0,2588 + (– 0,2)0,0832 + (– 0,0026) +

+ (–0,0006) = 0,242.

Для отыскания sin56 ⁰ примем x _n = 55 ⁰ и x = 56 ⁰, отсюда t = .

Применяя вторую интерполяционную формулу Ньютона (3.14) и, используя дважды подчеркнутые разности, будем иметь:

sin56 ⁰ = 0,8192 + 0,2·0,0532 + (- 0,0057) + (- 0,0003) = 0,83.