Если задана какая-то таблица с экспериментальными данными x j и y j и нет никакой дополнительной информации, то определение вида эмпирической формулы представляет собой трудную задачу. Рассмотрим сначала случай, когда эмпирическая зависимость определяется формулой с двумя параметрами a и b, то есть
y = f (x; a, b) (4.13)
Если окажется, что
(4.14)
то искомая зависимость линейная, т.е.
y = ax + b 1 (4.15)
и задача легко решается.
Другим простым случаем является определение квадратичной зависимости
y = ax 2 + b (4.16)
путём построения графика на полуквадратической системе координат, на которой парабола (4.16) представляется прямой линией, а коэффициенты a и b легко находятся рассмотренными выше способами.
Рассмотрим общий случай, когда соотношение (4.13) не сводиться к формулам (4.15) и (4.16). Получим необходимое условие существования эмпирической зависимости вида (4.13) для заданной системы точек (x i, y i). Пусть M i(x i, y i), M j(x j, y j), M k(x k, y k) три точки значений из нашей совокупности. Предполагая, что кривая (4.13) проходит через точки M i, Mj и M k, будем иметь
|
|
y i = f (x i; a, b), yj = f (x j; a, b), y k = f (x k; a, b) (4.17)
Исключая из системы (4.17) параметры a и b, получим соотношение вида
Ф (x i, x j, x k, y i, y j, y k) = 0. (4.18)
Выполнение равенства (4.18) для любых значений i, j, k () необходимо для существования зависимости (4/13). Проверка соотношения (4.18) связана с трудоёмкими вычислениями, поэтому на практике ограничиваются одной тройкой точек: начальной (x 1, y 1), промежуточной (x S, y S) и конечной (x n, y n). Точку M S выбирают так, чтобы соотношение (4.18) было по возможности простым. Иногда точку M S выгодно брать не принадлежащую нашему ряду точек, тогда координаты x S, y S определяются интерполированием.
Пример. Получить необходимое условие для существования степенной зависимости
y = axk, (4.19)
предполагая, что x i > 0, y i > 0 (i =1,2,…, n).
Решение. Выберем
x S = .
Из формулы (4.19) имеем
y 1 = axb; y S = a = a , y n = a (4.20)
Исключая из соотношения (4.20) параметры a и b получим
y 1 y n = a = a 2
а от сюда следует, что y 1 y n = , т.е. .
Таким образом, для существования степенной зависимости (4.19) необходимо, чтобы среднему геометрическому x S значений х 1 и х n соответствовало среднее геометрическое y S значение y 1 и y n. Если x S не является табличным, то соответствующее значение y S определяется с помощью интерполирования.
Далее мы рассмотрим наиболее часто встречающиеся зависимости.
1. y = ax + b;
2. y = axb;
3. y = abx;
4. y = a + ;
5. y = ;
6. y =
7. y = a ln x + b.
Аналогично тому как это было сделано выше в примере для существования зависимостей 1–7 можно вывести простые необходимые условия: и , где и . При этом предполагается, что х i > 0 и у i > 0. Эти выражения для и приведены в таблице 9.
|
|
Таблица 9
№ | Вид эмпирической формулы | Способ выравнивания | ||
1. | (среднее арифметическое) | (среднее арифметическое) | y = ax + b | |
2. | (среднее геометрическое) | (среднее геометрическое) | y = ax 2 | Y = α + bX, где X = lg x, Y =lg y, α = lg a. |
3. | y = abx или y = ae | Y = α + x, где β = lg b, Y =lg y, α = lg a. | ||
4. | y = a + | Y = ax + b, где Y = xy | ||
5. | y = | Y = ax + b, где Y = | ||
6. | y = | Y= ax + b, где Y = | ||
7. | y = a ln x + b | Y = ax + b, где y = lg x |
Приведённая таблица 9 облегчает выбор эмпирической формулы среди указанных. Для проверки пригодности определённой эмпирической формулы, пользуясь исходными данными, находим значение и табличное значение и сравниваем его со значением ψ () = . Предпочтительнее та формула, для которой расхождение наименьшее.
Если значение ψ () = не находятся среди исходных данных x i, то отвечающее ему значение можно определить посредством линейной интерпретации
= + ( - ),
где и – промежуточные значения, между которыми находиться .
Следует иметь ввиду, что описанный подход является грубо ориентированным, так как мы не учитываем поведение всех промежуточных точек (). Кроме того, приведённая таблица эмпирических функций охватывает небольшое количество зависимостей и может случиться, что переменные х и у подчинятся некоторой закономерности, не вошедшей в наш список.
Следует так же учесть, что функции 1–7 монотонные, и, следовательно отвечающие им упорядоченные данные () при ∆ x i = x i+1 – x i > 0 (i = 1,2,…, n -1), должны обладать постоянным знаком приращения . Если это условие не выполняется, то зависимости 1–7 не могут использоваться в качестве эмпирических формул.
Пример. Определить вид эмпирической формулы, отвечающей следующей таблице 10.
Таблица 10:
х | ||||||||
у | 29,4 | 33,3 | 35,2 | 37,2 | 45,8 | 55,2 | 65,6 | 77,3 |
Решение. Будем искать эмпирическую формулу среди зависимостей 1–7, приведённых в таблице 9. Результаты вычислений приведены в таблице 11, из которой следует, что нужно выбрать степенную зависимость
y = axb.
Таблица 11
№ | ( … ) | Вид формулы | |||
1. | =53,35 | 50,5 | 2,85 | y = ax + b мало подходит | |
2. | = = 47,7 | 48,7 | 1,0 | y = axb – подходит лучше других формул | |
3. | = 47,7 | 50,5 | 2,8 | y = axb – мало подходит | |
4. | 46,9 | 6,45 | y = a + не подходит | ||
5. | 50,5 | 7,9 | не подходит | ||
6. | 46,9 | 4,3 | y = - не подходит | ||
7. | 48,7 | 4,65 | y = a ln x + b не подходит |