Кіріспе

Инженерлік қызмет алдымен техникалық объектілерді жобалаумен байланысқан. Жобалау дегеніміз - өнімді жасаудың бейнелеуін алу процесі. Техниканың әртүрлі салаларында жобалану объект ретінде өнімдер немесе процестер болуы мүмкін. Ғылым және техника прогресі күрделі техникалық объектілердің, яғни өзара байланысқан элементтерінің көп санынан тұратын күрделі жүйелердің пайда болуына себеп болады.

Күрделі жүйелерді (осындай жүйелерге басқару объектілер да жатады) өңдеп, жобалап жасаған кезде қарастырып отырған объектілердің сандық және сапалық қасиеттерін білу қажет. Көп деген жағдайлар себебінен әдетте күрделі объектілердегі осындай заңдылықтарын практикалық тексеру мүмкін емес. Сонымен бірге осындай тексеру көп материалдар шығындарын және көп уақытты талап етеді. Осы себептерден қарастырып отырған күрделі объектілердің қасиеттері мен заңдылықтарын модельдеу әдістері негізінде зерттеудің өте көп мағынасы бар.

Қоршаған орта туралы біздің тәжірибелеріміз біздің қабылдауымызда негізделген. Бұл мәлімет бірақ тікелей қолданылмайды. Әдетте ол объектіні бейнелеп зерттеуге қолданылатын қарапайым қасиеттер жиынына түрленеді. Сапа жағынан қасиеттер жақсы, жаман, ауыр, т.б. болуы мүмкін, бірақ модельдеу үшін біз көбінесе өлшенетін сандық қасиеттерін қолданамыз. Зерттелетін шамалар объекттегі нақты шамалардан қарапайым болған кезде ғана зерттеулерді өткізуге болады. Сонымен бірге барлық қасиеттер бір уақытта қарастырылмайды. Әдетте қасиеттер жиынынан бізге бірсыпыра қасиеттері керек. Мысалы, бір құжаттың ксерокопиясын қарастырайық. Көшірімін жасаған кезде құжаттың көп деген қасиеттері өзгереді: қағаз, оның форматы басқа болуы мүмкін. Бірақ бізге тек қана құжаттың мазмұны керек болса, біз көшірмеге қанағаттанамыз. Тек қана қажетті қасиеттердің минимал санын қарастыру мақсатымен модель әдейі қарапайымдалады.

Модель ешқашан да жеткілікті толық болмайтынын түсіну қажет. Ол әрқашан да шектелген және модельдеу мақсаттарына сай болуы керек, берілген объекттің қажетті қасиеттер сандары мен олардың толықтығы анықталған зерттеуге қажетті болатындай бейнеленеді.

Модельді зерттеу қадамында модельдеудің уақыт интервалында модель параметрлерінің белгіленген мәндерінде модельденетін жүйенің жүріс-тұрысы, яғни модельді «орындау» («execution») жаңадан өндіріледі. Әдетте ізделінген нәтижеге жету үшін модельді бір рет орындау жеткілікті болмайды. Зерттеу табысы көбінесе есептеу тәжірибені автоматтандыру мүмкіндіктерден тәуелді болады. Қазіргі кездегі компьютерлік модельдеу пакеттері есептеу тәжірибелерді ұйымдастырғанға виртуалды стенд концепциясын қолданады.

1 дәріс. Модельдеудің түсініктемелері. Модельдеу мақсаты

Дәрістің мазмұны:

- модельдеудің түсініктемелері; модельдер түрлері; модельдеудің мақсаттары.

Дәрістің мақсаты:

- модельдеудің негізгі түсініктемелері мен модельдер түрлерін оқу.

Ғылыми зерттеулерде бақылаудан немесе тәжірибелерден алынған мәліметтердің аз сандарында негізделген болжамдардың - гипотезалардың көп мағынасы бар. Ұсынылған гипотезаларды тез және толық тексеру арнайы тәжірибелер арқылы орындалады. Гипотезаларды тұжырымдап, олардың дұрыс екенін тексеру үшін аналогиялар, яғни екі объекттің дербес ұқсастығы туралы пікірлер қолданылады. Гипотезалар әдетте практикада тексерілетін ғылыми пікірлерге ұқсастығы бойынша жасалады. Сонымен, аналогиялар гипотезалары тәжірибемен байланыстырады. Нақты ортаны суреттейтін гипотезалар мен аналогиялар көрнекілік болып, сонымен бірге зерттеуге ыңғайлы логикалық сұлбалар түрде көрсетілуі керек. Пікірлер мен логикалық құрастыруларды жеңілдетіп, құбылыстар табиғатын анықтайтын тәжірибелерді өткізуге мүмкіндік беретін логикалық сұлбалар модельдер деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда, модель дегеніміз нақты объектті орынбасатын объект. Осындай объект моделін құрастыру процесін модельдеу деп атайды. Модельдеу нақты объекттің қасиеттерін орынбасар объект көмегімен зерттеуге мүмкіндік береді.

Модельдеу - әртүрлі процестер мен құбылыстарды зерттеуге қолданатын көп тараған әдіс. Процестердің күрделілігі процестің өтуін анықтайтын параметрлерінің көп санымен, параметрлер арасындағы әртүрлі өзара байланыстар және өзара әсерлермен анықталады. Біздер зерттеулерді жеңілдету мақсатымен осындай ақпараттар көлемін азайтуға, таңдалынатын мүмкіншіліктер санын шектеуге тырысамыз. Бұл мақсатқа жету үшін процестерді зерттеуге модельді яғни зерттелетін процестің қажетті бағытта шектелген бөлек сипаттамаларын бейнелейтін қарапайымдалған жүйені қолданамыз. Берілген құбылыс, процесс немесе техникалық жүйені тікелей зерттеу орнына модель деп аталатын басқа құбылысқа, процеске немесе техникалық жүйеге көшу модельдеудің мәнісі болып табылады. Осындай көшудің негізгі мақсаты – зерттеуді жеңілдету, біздерге керекті шамаларды анықтауға қол жеткізу, зерттелетін құбылыстарды жасанды жаңадан өңдеу.

Сонымен, берілген объекттің барлық немесе кейбір қасиеттерімен сәйкес келетін қасиеттері бар кез келген объектті берілген объекттің моделі деп атаймыз. Нақты объектте өткізуге қиын немесе ыңғайсыз қымбат болатын зерттеулерді өткізу үшін модель жасалады.

Модельді жасаудың кейбір мақсаттары мен негізгі зерттеу түрлерін белгілеуге болады:

- мәнін түсіну құралы ретінде модель айнымалылардың өзара байланыстарын, олардың уақыт бойынша өзгеру айырмашылықтарын, маңызды заңдарын анықтауға мүмкіндік береді. Модельді жасаған кезде зерттелетін объекттің құрамы түсінікті болады, маңызды себеп-салдар байланыстары анықталады. Модельді құрастырған кезде бірте-бірте модельге қойылатын талаптар қөзқарасы жағынан бастапқы объекттің қасиеттері маңызды және маңызды емес деп бөлінеді. Бастапқы объект жұмысының біздерге қажетті қасиеттеріне қатыс болатын ерекшеліктері ізделінеді. Белгілі мағына жағынан ғылыми қызмет табиғат құбылыстарының модельдерін құрастырудан және зерттеулерден тұрады;

- болжау құралы ретінде модель объекттің жүріс-тұрысын болжауды үйреніп, әртүрлі модель басқару нұсқаларын сынап, оны басқаруға мүмкіндік береді. Әдетте нақты объектілермен тәжірибе өткізу ыңғайсыз, кейбір кезде қауіпті немесе кейбір себептерден - тәжірибе ұзақтығы, объекттің бүлінуі немесе жойылу қауіп-қатерінен, нақты объекттің жоқтығынан (мысалы, ол әлі жобалануда) мүмкін емес;

- құрастырылған модельдерді параметрлердің оптималды қатынастарын табуға, кейбір ерекше режимдерін зерттеуге қолдануға болады;

- кейбір кезде модель бастапқы объектіні оқыту мақсатымен орын басады, мысалы, персоналды нақты жағдайдағы жұмысқа дайындағанда тренажер ретінде немесе виртуалды зертханада зерттелетін объект ретінде қолдануда. Орындалатын модульдер түрінде жасалған модельдер басқару жүйелерді стендтерде зерттегенде басқару объектілердің имитаторлары ретінде қолданылады, жобалаудың бастапқы кезеңдерінде болашақ аппаратты жасалатын басқару жүйелердің өзінің орнын басады.

Модельдерді жағдайға байланысты екі топқа бөлуге болады: материалды және идеалды; сондықтан заттық және абстрактты модельдеуді қарастыруға болады. Заттық модельдеудің негізгі түрлері физикалық және аналогты модельдеу болып табылады. Нақты объектке оның үлкейтілген немесе кішірейтілген көшірмесі сәйкес қойылса, модельдеуді (макеттеуді) физикалық деп атайды. Бұл көшірме ұқсастық теориясы негізінде зерттелетін құбылысты сипаттайтын негізгі саңдардан алынған ұқсастық критерийлер бойынша жасалады, сондықтан модельде қажетті қасиеттер сақталынды деуге болады. Физикалық модельдерде белгілі зерттеуге қажетті бастапқы объекттің геометриялық пропорцияларынан басқа да қасиеттері сақталынады (мысалы, объект материалы немесе бояу гаммасы). Мысалы, ұшақты жобалаған кезде аэродинамикалық қасиеттері бірдей болатын оның макеті жасалады. Физикалық модельді жасағанда келесіні есепке алу керек: нақты жүйеге қарағанда талдаудың қуатты әдістерін қолдануға мүмкіндік беретіндей модельмен жұмыс істеу қарапайым және қауіпсіз болуы керек, Қарапайым жүйелер үшін (мысалы, гидравликалық немесе бірфазалы жылулық жүйелер) ұқсастық принципі және физикалық модельдеу өзін дәлелдейді, себебі критерийлер сандары шектелген болады. Физикалық модельдеудің негізгі кемшілігі – объекттің әр нұсқасына өзінің моделін жасау керек, бұл жағдай материалды ресурстарын және жұмыстың көп көлемін талап етеді. Сонымен физикалық модельдеуді қолданудың аймағы шектелген, сондықтан күрделі жүйелерді зерттеудің негізгі әдісі математикалық модельдеу болып табылады.

Аналогты модельдеу бастапқы объектті басқа физикалық табиғаты бар, бірақ жүріс-тұрысы бастапқы объектісімен бірдей болатын объектпен алмастыруда негізделген. Мысалы, тербелістер мен резонансты зерттегенде механикалық жүйелер заңдылықтарын, сонымен бірге электр тізбектерін қолдануға болады. Аналогты модельдеуде орынбасу объектте керекті ерекшеліктерін көріп, оларды дұрыс түсіну өте маңызды. Физикалық және аналогты модельдеу зерттеудің негізгі әдісі ретінде модельмен тәжірибе жасауды талап етеді, бірақ бұл тәжірибе бастапқы объекттегі тәжірибеден тартымды болады. Кезінде аналогты есептеу машиналары кең қолданылған. Олардың көмегімен модельдеу өткізу электр құбылыстарының басқа физикалық табиғаты бар құбылыстармен ұқсас болуында негізделген. Мысалы, электр тізбектегі тербелістер ракетаның бұрыш тербелістеріне ұқсас, ал электр тізбекпен тәжірибелерді өткізу арзан және қауіпсіз (ұшып баражатқан ракетаға қарағанда). Аналогты машиналарда жаңадан өңделетін электр тербелістерді арнайы аспаптармен – осцилографтармен бақылап, модельдің жүріс-тұрысын «көруге» болады.

Идеалды модель дегеніміз - нақты немесе елестететін объектілердің абстрактты бейнелері. Идеалды модельдеуді екі түрге бөледі: интуитивті және таңбалы. Қолданатын модель болғанымен, оны бейнелей алмай, бірақ оның көмегімен қоршаған ортаны болжап немесе түсініктіру өткізсе, интуитивті модель туралы әңгімелегеніміз. Осы мағынада әр адамның өмірлік тәжірибесі оның қоршаған ортасының моделі деп есептеуге болады. Әртүрлі жағдайда адам миы шешім қабылдау есебін қалай шешетінін біз әлі білмейміз.

Модель ретінде белгілерді немесе символдарды: сұлбалар, графиктер, сызбалар, әртүрлі тілдердегі мәтіндер, сонымен бірге формалды, математикалық формулалар және теорияларды қолданатын модельдеу таңбалы модельдеу деп аталады. Таңбалы модельдеуге міндетті түрде қатынасатын интерпретаторы болуы керек (әдетте адам болады). Сызбалар, мәтіндер, формулалардың өз бетінше ешқандай мағынасы жоқ, оларды түсінетін және күнделікті қызметінде қолданатын біреу болуы керек. Таңбалы модельдеудің маңызды түрі математикалық модельдеу болып табылады. Объекттердің физикалық табиғатынан дерексіздендіріп, математика идеалды объекттерді оқиды. Математикалық модельдеу табиғат заңдарының саны шектеулігінде және ұқсастық принциптерінде негізделген. Яғни басқа сөзбен айтқанда әртүрлі физикалық табиғаты бар құбылыстар бірдей математикалық тәуелділіктермен бейнеленулері мүмкін. Мысалы, дифференциалдық теория көмегімен аталып кеткен электр немесе механикалық тербелістерді жалпы түрде оқуға, сонан соң алынған білімдерді белгілі физикалық табиғаты бар объектті зерттеуге қолдануға болады.

Математикалық өрнектермен немесе алгоритмдермен формалданған жүйе бейнеленуі математикалық модельдеу деп аталады. Кез келген физикалық шамалардан тұратын математикалық өрнекті процестің математикалық моделі ретінде қарастыруға болады. Физикалық модельдеуге қарағанда математикалық модельдеу оригиналдың тек қана математикалық бейнелеуі бар және математикалық өрнектермен байланысқан параметрлерін зерттеуге болады. Сонымен бірге зерттелетін процестің физикасы сақталмайды, бір теңдеулер табиғаты жағынан әртүрлі құбылыстарды бейнелеуге мүмкіндік беріп, объекттің жүріс-тұрысын толық бейнелемей, оның бөлек функционалды байланыстарын табуға мүмкіндік береді. Сонымен, нақты объекттің математикалық моделі деген берілген физикалық объектке сәйкес қойылған математикалық объект деуге болады. Әрине, нақты физикалық байланыстарды көрсететін математикалық тәуелділіктерді анықтайтын өрнектер белгілі болу керек. Келешекте біздер тек қана математикалық модельдер туралы әңгімелейміз.

Математикалық модельдеудің маңызды түрі – компьютерлік модельдеу. Әртүрлі қызмет бағдарламаларды қосындылап (мысалы, уақыт бойынша сурет немесе графиктерді салатын), математикалық модельдің бағдарламалық іске асырылуы компьютерлік модель деп аталады. Компьютермен қабылданып, онымен интерпретацияланса, компьютерлік модель физикалық модельдің қасиеттерін білдіреді. Компьютерлік модель физикалық құрылғы ретінде сынақ стендтер, тренажерлар, виртуалды зертханалар құрамына кіруі мүмкін. Бұл модельдің арнайы түрі, өзінде абстрактты және физикалық қасиетттерін қабылдайтын, көп деген пайдалы мүмкіндіктері бар. Солардың ішіндегі бастысы – модельді жасау және өзгерту өте қарапайым процесс болып табылады. Сонымен бірге алынатын нәтижелерінің дәлдіктері өте жоғары және модельдердің функционалды қүрделі болатынын атап кету керек. Сондықтан, қазірде модельдеу деп әдетте компьютерлік модельдеуді атайды.

Математикалық модельді құрастыру физика, химия, биология пәндерінен белгілі заңдарды қолданумен орындалады. Алынған модельді аналитикалық жолмен зерттеуге болады, бірақ көбінесе оны орындайтын бағдарлама дайындалады. Компьютерлік модельдеудің бастапқы қадамдарында осы бағдарламалар жоғарғы деңгейлі бағдарламалау тілдерде жасалған, ол кезде қолданылатын бағдарламалау технологиялар модельдерді жасауға өте көп уақытты талап ететін. Қазірде математикалық модельді модельдеу бағдарламаға түрлендіру процесін автоматтандыратын модельдеуге арналған көп деген жүйелер, модельдеу пакеттер өңделген. Қазіргі пакеттерді қолданушының көзқарасы жағынан компьютерлік модельді құрастыру негізінде модельдің математика тіліндегі бейнелеуін қолданылатын жүйенің тіліне көшіруге және ұсынылған сандық әдістердің ішінен керектісін таңдауда тұрады.

Математикалық модельдерге қойылатын талаптар: дәлдік – бұл қасиет модель көмегімен болжанған объекттің параметрлерінің мәндері ақиқат мәндермен сәйкестігінің дәрежесін көрсетеді; компьютер уақытының шығындарының тиімділігі; универсалдық яғни біртекті объектілер топтарына анализдеуге қолдануға болатындығы.

2 дәріс. Математикалық модельдеудің негізгі терминдері. Математикалық модельдердің түрлері

Дәрістің мазмұны:

- математикалық модельдеудің негізгі түсініктемелері; математикалық модельдердің түрлері.

Дәрістің мақсаты:

- математикалық модельдеудің негізгі түсініктемелерін және математикалық модельдердің түрлерін оқу.

2.1 Математикалық модельдеудегі негізгі терминдер

Кез келген математикалық модель келесі: компоненттер, айнымалылар, параметрлер, функционалдық тәуелділіктер, шектеулер деп аталатын құрастырушылардың реттелген комбинациясы болып табылады.

Сәйкес ұйымдастыру амалымен жүйені құрастыратын құрамдастыру бөліктерді модель компонеттері деп түсінеді. Компоненттер бөлінбейтін құрамдастырушылар (модель "элементтері") немесе "ішкі жүйе" болып табылатын құрамдастырушылар болуы мүмкін. Әдетте жүйенің кірістері мен шығыстары айнымалылар деп, ал басқа шамалар – параметрлер деп аталады. Мұндай келісім шарт бойынша алынады. Қосымша келісімдер болмаса қайсысы айнымалы, қайсысы параметр деген сұраққа жауап табылмайды. Осындай келісім ретінде, мысалы, функциялар класы алынуы мүмкін. Айнымалыларды кірістегі және шығыстағы айнымалы деп бөлгеніміз де абсолютты болмайды. Мұндай бөлу тек қана анықталған жүйеге қолданылады. Зерттелетін жүйенің анықталған қасиеттеріне сүйену керек. Жүйе кірістері (экзогендік айнымалылар) жүйеден тыс пайда болады және сыртқы себептер әрекеттері нәтижесінен туады; жүйе шығыстары (эндогендік айнымалылар) экзогендік айнымалылар жүйеге әсер еткен себебінен жүйеде пайда болады. Математикалық модельдердің бас құрастырушылары – функционалдық тәуелділіктер. Олар жүйенің немесе компоненттің айнымалыларының және параметрлерінің жүріс-тұрысын бейнелейді. Әдетте олар экзогендік (х) және эндогендік (у) айнымалылар немесе айнымалылар және олардан тәуелді параметрлер (р) арасындағы ішкі қатынастарды орнатады:

а) y = φ(p,x),

б) р = ψ(x,y).

φ функциясы көбінесе операторлық (немесе оператор), ал ψ функциясы – параметрлік деп аталады. Жүйенің жұмысының заңы аналитикалық, графикалық, кестелік, т.б. түрде берілуі мүмкін. Модельдердің соңғы құрамдастырушысы – шектеулер. Қарапайым кезде шектеулер деп модель аргументтерінің векторының өзгеру аймағын түсінеді xÎD_x. Модель параметрлері де кейбір рұқсат етілген аймақта берілуі мүмкінpÎD_p. Көбінесе модельденетін жүйе қоршаған ортаға әсер етпейді деп белгіленеді. Қоршаған ортаның әсерін есепке алмау негізделген болуы керек.

2.2 Математикалық модельдердің негізгі түрлері

Қолданудың әртүрлі аспектілерін қанағаттандыратын жалпы универсалды модельді жасау мүмкін емес. Басқарылатын объекттің кейбір қасиеттерін қамтып көрсететін ақпаратты алу үшін модельдерді классификациялау қажет.

Классификациялаудың негізінде φ оператордың ерекшеліктері жатады. Уақыттық және кеңістіктік белгілері бойынша басқару объекттердің барлық түрлерін келесі кластарға бөлуге болады: статикалық немесе динамикалық; сызықты немесе сызықты емес; уақыт бойынша үздіксіз немесе дискретті; стационарлы немесе стационарлы емес; параметрлері кеңістік бойынша өзгеретін процестер және параметрлі кеңістік бойынша өзгермейтін процестер. Математикалық модельдер сәйкес объектілерді суреттейтін болғандықтан, оларға да осы кластарды қолдануға болады. Модельдің толық атауына айтылған белгілердің барлығы кіруі мүмкін. Осы белгілер модельдердің сәйкес типтер атауларының негізі болып табылды.

Жүйеде зерттелетін процестер сипаттарына сәйкес модельдердің барлығын келесі түрлерге бөлуге болады.

Процесте кез келген кездейсоқ әсерлер жоқ деп есептелсе, процесс детерминерленген (анықталған) деп аталады; осындай процестерді бейнелейтін модельдер – детерминерленген модель болады.

Ықтималдық процестер мен оқиғаларды бейнелейтін модельдер стохастикалық модель деп аталады; бұл кезде кездейсоқ процестің бірсыпыра іске асырылуы болжанып, орта сипаттамалары бағаланады.

Стационарлы және стационарлы емес модельдер. Егер де φ оператордың түрі және оның p параметрлері уақыт бойынша өзгермесе, яғни келесі орындалса

φ[p(t),x]= φ[p(t+τ),x],яғниy= φ(p,x)

онда модель стационарлы болып табылады.

Егер де модель параметрлері уақыт бойынша өзгеретін болса

y= φ[p(t),x]

модель параметрлік стационарлыемес.

Уақыттан функция түрі де тәуелді болса, бұл жағдай стационарлы еместіктің ең жалпы түрі болады. Бұл кезде функцияға тағы бір аргумент қосылады:

y= φ(p,t,x)

Статикалық және динамикалық модельдер. Модель түрлерін осылай бөлгеннің негізінде зерттелетін объекттің материалды жүйе ретінде қозғалысының ерекшеліктері жатады.

Басқару есептер көзқарасы жағынан модельдер туралы әңгімелесек, кеңістік деп геометриялық кеңістікті атамайтынымызды еске алу қажет. Бұл кезде кеңістік деп күй кеңістігін, яғни шығудағы у айнымалыларының күй координаталарын түсінеміз. увекторының элементтері ретінде әдетте бақыланатын технологиялық параметрлер (шығын, қысым, температура, ылғалдық, тұтқырлық, ж.б.) болады. у векторының элементтерінің құрамы объекттің өзі үшін (модельге қарағанда) толығырақ болуы мүмкін, себебі модельдеу кезде нақты объекттің қасиеттерінің тек қана бір бөлігін оқу қажет. Күй кеңістігінде және уақыт бойынша басқару объекттің қозғалысы y(t) векторлық процесс көмегімен бағаланады.

Егер де жүйе күйі өзгермесе, яғни жүйеде тепе-теңдік орындалса, жүйе моделі статикалық деп аталады, бірақ қозғалыс тепе-теңдіктегі объекттің статикалық күйімен байланысқан. Статикалық модельдердің математикалық бейнелеуіне айнымалы ретінде уақыт кірмейді, бұл бейнелеу алгебралық теңдеулерден немесе объект таратылған параметрлері бар объект болса, дифференциалдық теңдеулерден тұрады.

Статикалық модельдер әдетте сызықты емес болады. Олар объекттің бір режимнен басқа режимге көшу себебінен пайда болатын тепе-теңдік жағдайын тура бейнелейді.

Динамикалық модель объекттің күйінің уақыт бойынша өзгеруін бейнелейді. Осындай модельдердің математикалық бейнелеуіне міндетті түрде уақыт бойынша туынды кіреді. Динамикалық модельдер дифференциалды теңдеулерді қолданады. Бұл теңдеулердің дәл шешімдері дифференциалдық теңдеулердің тек қана бірсыпыра кластарына белгілі. Көбінесе жуықты болатын сандық әдістерді қолдану керек болады.

Басқару мақсаттарымен көбінесе динамикалық модельді кірудегі және шығудағы айнымалыларды байланыстыратын беріліс функция ретінде көрсетеді.

Сызықты және сызықты емес модельдер. Математикадағы анықтама бойынша келесі L(λ₁x₁+λ₂x₂)=λ₁L(x₁)+λ₂L(x₂) шарт орындалса L(x ) функциясы сызықты болады.

Сол сияқты көп өлшемді функциялар үшін сызықты функцияда тек қана алгебралық қосу және айнымалыны тұрақты коэффициентке көбейту операциялары қолданылады. Егер де модель операторының өрнегінде сызықты емес операциялар болса, модель сызықты емес болады, кері жағдайда – сызықты.

Жинақталған және таратылған параметрлері бар модельдер. Біздер кіргізген терминология бойынша модель атауында “параметрлер” сөздің орнына ”күй координатасы” түсініктемесін қолдану дұрыс болар еді. Бірақ бұл технологиялық процестерді модельдеу тақырыбы бойынша жұмыстардың бәрінде кездесетін қалыптасқан атау.

Егер де процесс айнымалылары уақыт бойынша, сонымен бірге кеңістік бойынша да (немесе тек кеңістік бойынша) өзгеретін болса, онда осындай процестерді бейнелейтін модельдер таратылған параметрлері бар модельдер деп аталады. Бұл кезде z=(z₁,z₂,z₃) геометриялық кеңістігі еңгізіледі және теңдеулердің түрі келесідей болады:

y(z)=φ[p(z),z,x)], p(z)=ψ[y(z),z,x].

Олардың математикалық бейнелеуі әдетте дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулерден немесе қарапайым дифференциалдық теңдеулерден (жалғыз кеңістік координатасы бар стационарлы процестерде) тұрады.

Егер де объекттің күй координаталар мәндерінің кеңістік бойынша біркелкі еместігін есепке алмауға болса, яғни келесі градиент болса, сәйкес модель – жинақталған параметрлері бар модель болады. Олар үшін масса мен энергия бір нүктеде жинақталған сияқты.

Кеңістіктің өлшемі міндетті түрде 3-ке тең болмауы мүмкін. Мысалы, жылытылатын жұмыс ортасы бар және жұқа бүйірлі сырты бар құбырдың моделі әдетте объекттің бір өлшемділігін қолданады – тек қана құбыр ұзындығы есептелінеді. Сонымен бірге, қалың бүйір арқылы жұмыс ортаның шектелген көлемге жылы тасымалдау процесі де тек қана бүйір жуандығын есепке алатын бір өлшемді модельмен бейнелене алады, т.б. Белгілі объекттер үшін сәйкес теңдеулердің түрі негізделуі керек.

Уақыт бойынша үздіксіз және дискретті модельдер. Үздіксіз модельдер жүйелердегі үздіксіз процестерді бейнелейді. Уақыт үздіксіз аргумент ретінде қарастырылатын объект күйін бейнелейтін модельдер уақыт бойынша үздіксіз модель болады:

y(t)=φ[p(t),x(t)], p(t)=ψ[y(t),x(t)].

Дискретті модельдер дискретті болып табылатын процестерді бейнелеуге қолданылады. Дискретті модель объект жүріс-тұрысын дискретті уақыттың аралықтарында болжай алмайды. Егер де уақыт бойынша ∆t қадамымен кванттауды еңгізсек, онда шкала қарастырылады, мұнда i=0,1,2… дискретті уақыт мағынасы болады. Сонда дискретті модель келесі түрде болады:

y(i)=φ[p(i),x(i),∆t]; p(i)=ψ[x(i),y(i),∆t].

∆t қадамы дұрыс таңдалынса, дискретті модельден алдын ала берілген дәлдікпен нәтижені алуға болады. ∆t өзгерсе, айырымдық теңдеудің де коэффициенттері қайта есептелінуі керек.

Дискретті-үздіксіз модельдер. Егер де үздіксіз процестермен бірге объектте дискретті процестер бар екендігін көрсету керек болса, дискретті-үздіксіз модельдер қолданылады.

3 дәріс. Модельдеу процесінің қадамдары. Модельдерді құрастырудың негізгі принциптері

Дәрістің мазмұны:

- модельдеу процесінің қадамдары; модельдерді құрастырудың негізгі принциптері.

Дәрістің мақсаты:

- модельдеу процесінің қадамдары мен модельдерді құрастырудың негізгі принциптерін оқу.

3.1 Модельдеу процесінің қадамдары

Жалпы кезде модельдеу процесі келесі қадамдардан тұрады:

1. Модельденетін объектті бейнелеу. Ол үшін нақты процесті құратын құбылыстардың құрамы зерттеледі. Осы зерттеу нәтижесінде процестің мағыналы бейнелеуі пайда болады, бұл бейнелеуде мүмкіндік болса, барлық заңдарды дәл көрсету қажет. Осы бейнелеуден қолданбалы есептің қойылуы шығады. Есеп қойылуы модельдеудің мақсаттарын, ізделінетін шамалардың тізімін, қажетті дәлдікті анықтайды. Сонымен бірге есеп қойылуының математикалық формулировкасы болмауы мүмкін.

Маңызды бейнелеу формалданған сұлбаны құрастырудың негізі болып табылады. Формалданған сұлба маңызды бейнелеу мен математикалық модель арасындағы өзара түйін болып табылады. Бұл сұлба міндетті түрде өңделмейді. Тек қана зерттелетін процесс күрделі болғандықтан, маңызды бейнелеуден тікелей математикалық модельге көшу қиын болған кезде. Бұл арада да материалды көрсету түрі мәтіндік болуы мүмкін, бірақ зерттеу есептің процесс сипаттамаларының, параметрлер жүйесінің, сипаттамалар мен параметрлер арасындағы байланыстарының анық математикалық формулировкасы болуы керек.

2. Оригиналдың маңызды қасиеттерін жақсы көрсететін және зерттеуге ыңғайлы модельді таңдау. Формалданған сұлбаны математикалық модельге түрлендіру математикалық әдістерімен қосымша ақпаратты қолданбай орындалады. Бұл қадамда барлық ара қатынастар аналитикалық түрде, логикалық шарттар – теңсіздіктер түрінде жазылады, барлық мағлұматтар мүмкіндік болса аналитикалық түрге келтіріледі. Математикалық бейнелеуді құрастырғанда әртүрлі теңдеулер қолданылады: алгебралық (стационарлы режимдерге), қарапайым дифференциалды теңдеулер (стационарлы емес режимдерге), таратылған параметрлері бар объекттердің динамикасын математикалық бейнелеуге дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер қолданылады. Егер де объектте детерминерленген қасиеттер мен бірге стохастикалық та қасиеттері болса, интегро-дифференциалдық теңдеулер қолданылады.

3. Модельді зерттеу. Бұл қадамда барлық әрекеттер модельге қолданылады және олар объект туралы білімдерді алуға, оның дамуының заңдарын орнатуға бағытталған. Модельді зерттеудің маңызды артықшылығы - әртүрлі бастапқы шарттар үшін және олардың өзгеру тәртіптері әртүрлі болғанда көптеген оқиғаларды қайталау мүмкіншілігі.

4. Нәтижелерге талдау беру. Математикалық модельде алынған мәндерді нақты зерттелетін объектке көшіру сұрақтары осы қадамда қарастырылады. Зерттеушіге модельмен орын басқан объекттің қасиеттері керек. Осындай көшірудің мүмкіншілігі модельмен оригиналдың элементтерімен қатынастарының сәйкес болғанында негізделген. Бұл қатынастар модельдеу процесінде орнатылған болатын. Математикалық модельді қолданғанда нәтижелердің дәлдігін, яғни объекттің бейнеленуінің адекваттылық дәрежесін еске алу керек.

Математикалық модельдеуді қолдану жетістіктері модельдің сәтті жасалғанына, адекваттылығына, модельді оқып білу дәрежесіне, оны қолданудың ыңғайлылығына тәуелді болады. Математикалық модельдеуде компьютерлерді қолдану параметрлер және сыртқы факторлардың мәндерінің өзгеруінің кез келген жағдайларында, сонымен бірге нақты тәжірибелерде жасалынбайтын шарттарда зерттеулерді өткізуге мүмкіндік береді. Сондықтан объектті өңдеу және жобалау қадамдарында туатын көп деген сұрақтарға басқа күрделі әдістерді қолданбай жауап алуға мүмкіндік пайда болады.

3.2 Модельдерді құрастырудың негізгі принциптері

Басқару жүйенің өмірлік циклы келесі негізгі периодтардан тұрады: жобалау, пайдалану және модернизациялау.

Технологиялық агрегатты жобалау процесі бір уақытта оны өңдеу мен жасау процестерімен бірдей өтеді. Бұл жағдай басқару жүйелерді жобалау процесінің ерекше өзгешелігі болып табылады. Сонда әлі жасалынбаған техникалық құрылғының қасиеттері туралы ақпаратты алудың жалғыз жолы бар осындай жүйелердің элементтерін сипаттайтын процестерді аналитикалық бейнелеу.

Зерттелетін объекттің белгілі ерекшеліктеріне физиканың (кей кезде химияның да) теориялық заңдылықтар жиындарын қолдану аналитикалық әдістердің негізі болып табылады. Сондықтан аналитикалық модельдерде априорлық қасиеттері бар деп есептеуге болады.

Басқару жүйелерді жобалау процесіне қолданғанда математикалық модельдер өздерінің негізгі міндетін қанағаттандыру керек, басқару жүйенің құрамы туралы шешім қабылдау процесін ақпаратпен қамтамасыздандыру. Осындай жүйелердің элементтерінің параметрлерін оптималдау сұрағы жобалаудың соңғы қадамында туады - бұл енгізу процесі болады. Өзінің ерекше қасиеттеріне қарай (модельдеу көзқарасы жағынан) енгізуді қолданудың басталуы деп есептеуге болады. Технологиялық агрегаттарды жобалаған кезде модельдерге қойылатын талаптар объекттің тек қана құрамы туралы шешім қабылдауда емес, сонымен бірге оның элементтерінің параметрлері туралы (мысалы, құбырлардың ұзындығы сияқты) шешім қабылдау қажеттілігімен байланысты.

Басқару жүйелерді қолдану процесі объекттің математикалық модельдеріне өзінің шарттарын қояды, олар өзінің міндетіне қарай келесідей:

- технологиялық процестің өлшеу аспаптармен бақыланбайтын координаталары туралы;

- әртүрлі режимді факторлар себебінен уақыт бойынша өзгеретін технологиялық процестің кейбір бөлімдерінің қасиеттері туралы ағынды (оперативті) ақпаратты алуға қажет болады.

. Модельдердің бөлінген кластарының екеуі де агрегаттарды қолданудың қажетті дәлдігімен жүйе реакциясын болжауы керек.

Сонымен, математикалық модельдерді құрудың екі принципиалды әртүрлі амалдары бар.

Модельді таңдағанда зерттелетін процестің жүріс-тұрысын анықтайтын физика-химия заңдылықтарды есепке алуда бірінші амал негізделген. Осындай модельдер аналитикалық модельдер деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда, модель теңдеулерін алу үшін зат пен энергияны сақтау фундаменталды заңдылықтары қолданылады, объектте өтетін физикалық және химиялық процестерді теориялық анализдеп модель теңдеулері шығарылады. Мұнда тәжірибелерді өткізу керек емес, сондықтан процестері жақсы оқылған объекттері жобалау қадамында олардың статикалық және динамикалық сипаттамаларын анықтау үшін осы әдістерді қолдануға болады. Объектті толығымен бейнелеген кезде алынған жүйенің есебін табу өте қиын.

Екінші амал "қара жәшік" концепциясында негізделген, яғни объекттің ішкі құрамы белгісіз, одан да зор, зерттеушіге керек те емес деп есептелінеді. Барлық ақпарат объектті пассивті және активті тәжірибелерде бақылаудан алынады, басқа сөзбен айтқанда процесс қасиеттерін "кіріс -шығыс" қатынас арқылы бейнелеген жеткілікті деп есептелінеді. Әдетте рұқсат етілген модельдер кластары ізделінетін параметрлер арқылы сызықты болатын белгілі функциялар жүйесі бойынша жіктеу қатарлары ретінде таңдалынады. Осындай жолмен алынған модельдер эмпирикалық (тәжірибелік) деп аталады. Тәжірибелік модельдердің артықшылығы параметрлердің өзгеру диапазонының кіші аралығында объект қасиеттері дәл бейнелетіндігі және математикалық бейнелеудің қарапайымдылығы. Бұл модельдердің негізгі кемшілігі – теңдеуге кіретін параметрлер мен объект сипаттамалары арасындағы функционалдық байланысты анықтауға мүмкін емес.. Сонымен бірге, осындай модельдерді басқа біртектес объекттерге қолдануға болмайды.

Аналитикалық және тәжірибелік әдістер арасында ақпараттық жағынан және қолдану аймағы жағынан принципиалды айырмашылықтары бар. Аналитикалық әдістер екі сұраққа жауап бере алады: объекттің жүріс-тұрысы қандай және неге олай? Екінші түрдегі модельдер тек қана "қандай?" деген сұраққа жауап бере алады. Эмпирикалық әдістер тек қана белгілі жұмыс істейтін қондырғыларды автоматтандыру және оптимизациялауға лайықты.

Аналитикалық әдістер эмпирикалық әдістерге қарағанда жалпы болып табылады және олардың көмегімен алынған нәтижелер фундаменталды болады. Бірақ бұл жеңіл берілмейді. Олар эмпирикалық әдістерге қарағанда күрделі және қиындықтар аналитикалық модельді құру кезінен бастап туады. Егер де объектті "қара жәшік" ретінде бейнелеу үшін статистика мен автоматты реттеу теориясынан білімдер жеткілікті болса, аналитикалық модельдерді құру үшін физика, химия, гидродинамика, т.б. пәндердің әртүрлі салаларынан білімдері мен түрлі-түрлі математикалық аппараты қажет. Сонымен бірге бұл қиындықтар аналитикалық модельдердің үлкен ақпараттық сыйымдылығымен орнын толтырады.

Эмпирикалық модельдердің бір түрі – имитациялық модельдер. Процестерді модельдегенде математикалық модельді ізделу шамалар арқылы арнайы теңдеулер жүйесіне түрлендіру міндетті түрде орындалуы кейкезде керек емес. Математикалық модельмен бейнеленетін құбылыстарды олардың логикалық құрамын, уақытта кезектесуін сақтап арнайы модельдеу қондырғылармен немесе есептеу техникамен қайтадан өңдеуді имитациялық модельдеу деп атайды. Аналитикалық әдіске қарсы имитациялық модельдеу кезінде орындалатын әрекеттер мағынасы ізделінетін болып таңдалынған шамалардан әлсіз тәуелді. Ізделінетін шамаларды бағалау үшін модельде айналып жүрген кез келген тіркелген және кейіннен өңдеуге қол жететін лайықты ақпарат қолданылуы мүмкін.

Аппараттық модельдеуде процесті зерттеу үшін арнайы модельдеу қондырғылар қолданылады; олардың жұмыс принциптері механикалық, электр, гидравликалық, жылулық және т.б. құбылыстардың аналогияларында негізделген.

Компьютерде модельдеу аппараттық модельдеудің арнайы түрі болып табылады. Процесті компьютерде модельдеу үшін оның математикалық моделін арнайы модельдеу алгоритмге түрлендіру керек. Осы алгоритмге сәйкес компьютерде зерттелетін процестің элементарлы құбылыстарын (олардың байланыстары мен өзара тәуелділіктерін есепке алып) бейнелейтін ақпарат тудырылады. Бұл ақпараттың кейбір бөлігі модельдеу нәтижесінде алу керекті процестің сипаттамаларын анықтауға қолданылады.

«Имитациялық модель» деген атау процесс-оригинал мен компьютердегі процесс арасында физикалық сәйкестік бар екенін білдірмейді. Бұл екі процесс нақты жүйенің жүріс-тұрысын бейнелейтін ақпарат құрамы мен оның сипаттамалары және модельдеу кезіндегі компьютермен өңделетін ақпарат жағынан сәйкес болады.

Имитациялық модельдер өзінің шешімдерін аналитикалық модельдер сияқты түрде көрсете алмайды, олар тек қана тәжірибемен анықталатын жағдайлардағы жүйе жүріс-тұрысын анализдеуге қолданатын құрал ретінде қолданылады.

4 дәріс. Объектілердің динамикалық сипаттамаларын анықтаудың аналитикалық әдістері

Дәрістің мазмұны:

- динамиканың негізгі теңдеулері.

Дәрістің мақсаты:

- динамиканың негізгі теңдеулерін, теңдеулерді қарапайымдау жолдарын оқып білу; модельдерді сызықтандыру процедурасын қолдануды үйрену.

4.1 Динамиканың негізгі теңдеулері

Аналитикалық модельдер танып білетін модельдер болады. Құбылыс механизмдерін, яғни объектте бар барлық себеп-салдарлық байланыстарды модель операторының құрамында қамтып көрсету осындай модельдердің ерекшелігі.

Кез келген математикалық модельді құрастыру модельденетін объектті физикалық бейнелеуден басталады. Сонымен бірге модельде көрсететін және оларды бейнелеу кезде қабылданатын негізгі келісімдерді орнататын объектте өтіп жатқан "элементарлы" болатын процестерді бөледі. Бұл арада "элементарлы" деген "қарапайым" дегенді білдірмейді, тек қана ол процестер басқа күрделі процестердің құрастырушысы болатынын білдіреді. Әдетте "элементарлы" деп бір құбылыстар класының процестерін есептейді, мысалы, масса алмасу, жылу тасымалдау, т.б. Әдетте келесі "элементарлы" процестер есепке алынады: фазалар ағындарының қозғалысы, фазалар арасында масса алмасу, жылу беру, агрегаттық күйді өзгерту, химиялық түрлендіру. Есепке алынатын элементарлы процестердің тізімін объектті бейнелейтін математикалық модельге енгізілетін құбылыстардың жиыны анықтайды.

Жылу энергетика өндірісінің негізгі технологиясы келесі элементарлы құрастырушылары бар физикалық процестерде негізделген:

- механикалық процестер – қатты материалдарды механикалық өңдеу;

- гидродинамикалық процестер (сұйықтық пен газды тасымалдау);

- жылу процестері (жылыту және суыту);

- масса алмасу процестері (булану және конденсациялану).

Осы барлық процестерінің өту заңдылықтары олар өтетін ортаның қозғалу шарттарымен байланысты, ол шарттар гидро және газодинамика заңдарымен анықталады. Сонымен бірге олардың барлығы (біріншісінен басқа) жүйенің бөлек бөліктері арасында зат пен энергияны тасымалдау элементарлы процестерінде негізделген. Осындай тасымалдау процестердің заңдылықтарын термодинамика оқиды. (Механикалық процестерді оқу серпімділік теориясының және қатты зат механикасының заңдарында негізделген). Сондықтан көп деген технологиялық процестерін модельдеудің теориялық негізі гидро және газодинамика болып табылады.

Технологиялық процестердің элементарлы қадамдарындағы ғылым негізі жалпы болғандықтан, оларды анализдеу және олардың модельдерінің рұқсат етілген кластарын құрастыру принциптері де жалпы болады. Жалпы кезде объекттің математикалық моделін құрастыру кірудегі шаманың кез келген өзгерісінде шығудағы шаманың өзгеруін анықтауға мүмкіндік беретін жүйенің операторын анықтауға саяды. Реттеу объекттердің сипаттамаларын аналитикалық жолмен анықтау олардың дифференциалдық теңдеулерін құрастыруда негізделген. Дифференциалдық теңдеулерді құру негізгі физикалық заңдарда: масса, энергия және қозғалыс мөлшерін сақтау заңдарында негізделген.

Жүйенің күйін әдетте термодинамика заңдарымен өрнектейді. Термодинамиканың бірінші заңының келесідей математикалық және физикалық формулировкасы бар: элементарлы көлемдегі субстанцияның өзгеруі көлем бетінен кіру ағындар мен шығу ағындар шығындарының алгебралық қосындысына тең. Бұл заң материя мен оның қозғалысының жоғалмайтынын бейнелейді және масса, энергия мен қозғалыс мөлшерін сақтау заңдар арқылы жазылады.

Массаны сақтау заң. Бұл заң классикалық механиканың негізгі заңы болып табылады: қозғалыстағы материалды жүйенің кез келген бөлігінің массасы уақыттан тәуелсіз және тұрақты шама болады.

Қозғалыс мөлшерін сақтау заңы: қозғалыстағы материалды жүйенің кез келген бөлігінің қозғалыс мөлшерінің өзгеру жылдамдығы сыртқы күштердің қосындысына тең.

Энергияны сақтау заңы: Оқшау жүйесіне жылудың шексіз кіші δQ шамасы беріліп, жүйемен шексіз кіші δA шамадай жұмыс жасалса, жүйе энергиясы de = δQ – δA шамаға өзгереді.

Бұл заңдардың барлығын дифференциалды теңдеулермен бейнелеуге болады. Олар тағы да F(p, v, T)=0 күй теңдеуімен толтырылуы керек. Шектеу шарттарымен бірге осы теңдеулер толығымен динамикалық жүйенің кез келген уақыттағы жүріс-тұрысын бейнелейді. Математикалық бейнелеуге кіретін теңдеулер саны міндетті түрде модельдеу процесінде ізделінетін айнымалылар санына тең болуы керек.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулерден тұратын математикалық бейнелеудің ерекшелігі болып табылатын бастапқы шарттарды қажетті түрде анықтаудың қажеттілігі. Дербес туындылары бар теңдеулерде бастапқы шарттармен бірге шектегі шарттарды да анықтау қажет (себебі параметрлер бірнеше координаттар бойынша таратылған), олар жалпы кезде уақыттан тәуелді функциялар болады. Кей кезде объектті дифференциалдық теңдеумен бейнелеу орнына айырымдық теңдеулер қолданылады. Осындай түрлендіруде қателік пайда болады, модельдеу нәтижесін бағалағанда, осы қателікті есепке алу керек.

Математикалық модельдерді құрастырғанда блоктық принципі кең қолданылады. Бұл кезде модель бөлек қарастырып отырған процестің бір жағын қамтып көрсететін логикалық тұтас блоктардан құрастырылады. Осы принципке сәйкес тұтас процестің және оның түйіндерінің – элементарлы процестердің физикалық негіздері анализденеді. Әуелі математикалық бейнелеу құрамының негізі болып процестің гидродинамикалық моделі зерттеледі. Содан кейін химиялық процестердің, масса және жылу тасымалдаудың кинетикасы зерттеледі, содан кейін осы әрбір процестің математикалық бейнелеуі жасалады. Соңғы қадамда барлық зерттелген элементарлы процестердің бейнелеулері тұтас бір теңдеулер жүйесіне ұйымдасады.

4.2 Динамика теңдеулерін қарапайымдау

Динамика теңдеулер жүйесі әдетте сызықты емес болғандықтан, оларды аналитикалық жолмен шешу жалпы кезде мүмкін емес. Сондықтан есеп спецификасына қарай теңдеулер және шектеулермен анықталатын кейбір байланыстарды жою үшін әртүрлі қарапайымдау әрекеттері орындалады. Сонымен бірге процестің маңызды қасиеттері сақталу керек.

Ең қарапайым (математикалық шешу жағынан) статикалық есеп болады. Уақыт және координаттар бойынша туындылар нөлге тең, сондықтан дифференциалдық теңдеулер орнына алгебралық теңдеулерді аламыз (жинақталған параметрлері бар объекттердің стационарлы режимдері).

Қарапайымдылық жағынан келесі стационарлық есеп болады. Теңдеулерде уақыт бойынша туындалар нөлге тең болады, сондықтан тәуелсіз координаттар саны азаяды (біздер осындай есептерді қарастырмаймыз). Стационарлы емес есептердің математикалық түрін қарапайымдау үшін өзара байланысқан жүйелер санын азайту, теңдеулер санын азайту жолымен, бөлек теңдеулердегі кейбір байланыстарды жою жолымен, кеңістік координаттар санын азайту және теңдеулерді сызықтандыру жолдарымен орындалады. Әрине, кейбір теңдеулерді жою жүйе дәрежесін төмендетеді. Математикалық көзқарас жағынан жүйе бекітілмеген болады. Жойылған теңдеулерді процестің жүріс-тұрысын жуықтап көрсететін алгебралық тәуелділіктермен алмастыру керек. Мысалы, сәйкес параметрлері тұрақты деп есептелінуі мүмкін.

Көптеген практикалық жағдайларда нақты ағынның қозғалу заңдары тәжірибелік мәліметтер негізінде табылады. Тәжірибелік зерттеулерден ағынның нақты құрамын қамтып көрсететін кейбір коэффициенттері анықталады, мысалы, жылдамдық, температура, тығыздылықтың кеңістік бойынша өзгеретінін есепке алатын тәуелділіктер. Осындай коэффициенттері үйкелу, жылу беру, екі компоненттік қоспаларда фазалардың бір-бірі арқылы қозғалу жылдамдықтар, т.б. болып табылады. Олардың барлығы ағынның интегралдық сипаттамалары болады, олар анықталған жуықтаумен нақты ағындағы қозғалыс мөлшерімен, жылулықпен, затпен алмасуды қамтып көрсетеді. Аталған коэффициенттер көмегімен және ағын кесіндісі бойынша параметрлердің орта мәндерімен жылу беру, гидравликалық кедергі, фазалар таратылуы көрсетіледі. Олар арасындағы байланыстар да тәжірибеден табылады.

Эмпирикалық коэффициенттерді және аталған тәуелділіктерді қолдану ағынның нақты үш өлшемдігін қарастырмауға мүмкіндік береді. Сонда кейбір теңдеулер қарапайымдалады, кейбіреулерін жоюға болады. Осындай қарапайымдауды өткізуге болады, себебі эмпирикалық тәуелділіктер ағынның нақты үш өлшемділігін қамтып көрсетеді деп есептеуге болады. Кей кезде жоғарыда айтылған қорытындылар негізінде динамикалық сипаттамаларды есептеу үшін бір өлшемді модельді қолдануға болады, ал кейбір кезде жинақталған параметрлері бар модельді. Бір өлшемді модельдерде параметрлер тек қана ағын осімен бағытталған бір координата бойынша өзгереді. Канал кесіндісі бойынша параметрлер тұрақты болып орта мәнге тең деп есептелінеді.

Жинақталған параметрлері бар модельдерде жүйенің барлық параметрлері кеңістік координаталардан тәуелді емес, тек қана уақыт функциясы болады деп есептелінеді. Кеңістік координата бойынша туындылар функцияның кірудегі және шығудағы мәндерінің айырмашылығының канал ұзындығына қатынасымен алмасады.

Тұрақты жүйелерде өтпелі процестер барлық біртекті параллелді қосылған элементтерінде бірдей өтеді. Сондықтан өтпелі процестерді зерттегенде толық жүйені қарастырмай, тек қана жүйенің бір элементін қарастыруға болады.

4.3 Теңдеулерді сызықтандыру

Модельдерді қарапайымдаудың бір әдісі алынған теңдеуді сызықтандыру болады, басқа сөзбен айтқанда сызықты математикалық модельге көшу.

Процестердің динамикасын модельдеудің соңғы мақсаты динамикалық сипаттамаларын анықтау үшін алған модельдерді басқару жүйелерде қолдану болып табылады. Сондықтан міндетті түрде теңдеулердің шешімін табу керек. Сызықты дифференциалдық теңдеулер жеңіл шешіледі. Бірақ объекттің жүріс-тұрысын әр кезде сызықты теңдеумен бейнелеу мүмкін емес. Сондықтан сызықты емес тәуелділіктер аргументтердің берілген диапазонында сызықты өрнектермен жуықталады. Басқа сөзбен айтқанда, кірудегі аргументтердің берілген диапазонында сызықты емес теңдеулер сызықты теңдеулермен алмастырылады, сызықтандырылады. Сызықты объектілерде кірудегі және шығудағы сигналдар арасындағы байланыс беріліс функциямен жеңіл бейнеленеді. Сызықтандыру әдетте сызықты емес теңдеулерді бастапқы стационарлы режим аймағында Тейлор қатарына жіктеу жолымен орындалады. Жіктеудің тек қана сызықты мүшелерін қалдырып, соңынан теңдеулерден статика теңдеулерін алып тастаймыз. Осы жолмен алынған объект моделі бастапқы стационарлы режимнен кіші ауытқуларда орындалады.

5 дәріс. Жинақталған параметрлері бар объектілерді аналитикалық әдістермен модельдеу

Дәрістің мазмұны:

- жинақталған параметрлері бар объекттерді модельдеудің аналитикалық әдістері.

Дәрістің мақсаты:

- жинақталған параметрлері бар объекттерді модельдеудің негізгі аналитикалық әдістерін мысалдарда оқып білу.

Жинақталған параметрлері бар объекттердің дифференциалдық теңдеулерін құрастырғанда әдетте материалды және жылулық баланс теңдеулерін қолданады.

Материалды баланс заңы бойынша бекітілген кеңістікте зат массасының уақыт бірлігінің өзгеруі кірудегі және шығудағы ағындардың алгебралық қосындысына тең:

(5.1)

мұнда: D_i (i=1,k) – i-ші кірудегі ағынның массалық шығыны, D_j (j=1,r) - j-ші шығудағы ағынның массалық шығыны, G – қарастырылып отырған көлемдегі зат массасы,, t -уақыт.

Сол сияқты уақыт бірлігінде заттың энтальпиясының өзгеруі қарастырылып отырған затқа жылуды әкелетін (немесе алып кететін) жылулық ағындардың алгебралық қосындысына тең