Теорема Колмогорова

Введем несколько вспомогательных понятий, связанных с функциональным х.

Открытым интервалом в х называется множество всех конечных вещественных функций х (t), которые удовлетворяют конечному числу неравенств вида

а_j < х (t_j) < b_j (j = 1, 2,..., n), (1.1)

где n – произвольное целое число; t_j – точки из Т; a _j и b_j – конечные или бесконечные вещественные числа.

Замкнутым интервалом называется множество всех х (t), удовлетворяющих системе аналогичных неравенств, в которых a_j и b_j – конечные числа и знак < заменяется на £.

Множество всех х (t), определенное неравенствами того же вида, в которых могут стоять оба знака (< или £), будет называться просто интервалом.

Основанием интервала (1.1) называется n -мерный интервал в подпространстве Rⁿ, состоящий из всех точек с координатами x (t ₁),..., x (t_n), которые удовлетворяют тем же неравенствам.

Открытый интервал является топологической окрестностью для каждой из своих точек. В топологии, индуцированной этими окрестностями, последовательность точек х_n в Х сходится к пределу х, если для каждого фиксированного t Î T последовательность вещественных чисел x_n (t) стремится в обычном смысле к пределу х (t). В этой топологии открытый интервал является открытым множеством, а замкнутый интервал – замкнутым множеством.

Все конечные суммы интервалов образуют поле множеств В ₀ в x. Наименьшее d-поле, содержащее В ₀, будет обозначаться В и может рассматриваться как обобщение класса борелевских множеств [2] в R_n.

Если дан случайный процесс x(t, w), то из определения процесса (см. § 1.1) следует, что все w – множества вида

{w; a_j < x(t_j; w) < b_j, j = 1, 2,..., n }

измеримы. Это утверждение остается справедливым, если некоторые из знаков < заменить на £. Таким образом, каждый интервал в пространстве выборочном функций Х измерим, и, следовательно, измеримо каждое множество поля В ₀ и наименьшего d-поля В, содержащего В ₀. Поэтому вероятностностная мера в Х, индуцированная функцией x(t, w), однозначно определима для всех множеств из В и В Î F ¹, где F ¹ есть d-поле множеств в Х.

Функция x(t, w) определяет семейство конечномерных распределений процесса; а n -мерная совместная функция распределения величин x(t_j, w), j = 1,..., n, – вероятностную меру любого интервала, определенного неравенствами указанного выше типа, для значений t, равных t ₁,..., t_n. Из свойства конечной аддитивности вытекает, что конечномерные распределения определяют вероятностную меру любого множества из поля В ₀. Ранее было отмечено, что функция x(t, w) индуцирует вероятностную меру в Х, которая однозначно определена для всех множеств из В, значит, заведомо для всех множеств из В ₀, где она, очевидно, должна совпадать с вероятностью, определенной конечномерными распределениями. Следовательно, последняя счетно аддитивна на В ₀, так что может однозначно быть продолжена на В. Таким образом, семейство конечномерных распределений любого случайного процесса однозначно определяет распределение вероятностной в выборочном пространстве Х для всех множеств d-поля В, порожденного интервалами, т.е. для всех борелевских множеств в Х.

Это первая часть теоремы Колмогорова. Вторая часть отвечает на уже сформулированный вопрос: если дано семейство конечномерных распределений, то при каких условиях существует случайный процесс, имеющий те же самые конечномерные распределения?

Доказано, что для существования такого процесса необходимо и достаточно, чтобы данное семейство распределений удовлетворяло условиям симметрии и согласованности, приведенным в § 1.1.

В дальнейшем будем рассматривать случайные процессы с параметром, принимающим значения из некоторого множества T вещественных чисел. Основное внимание будет сосредоточено на дискретном случае, когда T состоит из изолированных точек, обычно целых чисел, на непрерывном случае, когда T представляет собой некоторый (конечный или бесконечный) интервал. Параметр t при этом будет часто интерпретироваться как время.