Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины X k, где k — натуральное число:
nk= M (X k)
Следовательно, если X имеет распределение
X | х 1 | х 2 | …. | х n |
р | p 1 | p 2 | …. | p n |
то М(Х) = хk 1 р 1 +хk2р2 +... +хkn р n..
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2
M (X) =n1 (9.2)
D (X) = М(Х2)- -М 2 (Х)= n2-n12.
Определение 2. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины [Х- М(Х)] k:
mk= [(Х- М(Х)) k ].
Из определения центрального момента порядка k, теоремы 9.2 и определения дисперсии следует, что
m1= [(Х- М(Х))]=0,
m2= [(Х- М(Х)) 2 ]=D(X). (9.3)
Сравнивая соотношения (9.2) и (9.3), получаем
m2= n2-n12
Пример 9.8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X | ||
р | 0,4 | 0,6 |
Найдем начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка. Решение. Имеем:
n1 =М(Х) = 1×0,4 + 3×0,6 = 2,2;
n 2 = M (X 2) = 1×0,4 + 9×0,6 = 5,8;
m2=5,8-2,22 =5,8-4,84 = 0,96.
|
|