Некоторые законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 - р.

Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А наступит т раз (m £ п).

Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: р^тq^n-т. Так как эти сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Р_п(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то

Р_п(т) = р^тq^n-т

или

Р_п(т) = р^тq^n-т. (9.15)

Формулу (9.15) называют формулой Бернулли.

Пример 9.12. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найдем вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение, а) В данном случае п = 4, т = 3, p = 0,9, q= 1 -р = 0,1. Применим формулу Бернулли (9.15):

Р₄(3) = ×(0,9)³×0,1 =0,2916.

б) Искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей Р(А) = Р ₄(3) + Р ₄(4). Но Р ₄(4) = (0,9)⁴= 0,6561. Поэтому Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.

Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины А будут числа 0, 1, 2,..., п - 1, п. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

Р_п( 0 ) = qⁿ

Р_п( 1 ) = р q^{n -1}

……

Р_п(т) = р^тq^n-т_.

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

X			...	т	...	n
р	qn	р qn -1	…	рт qn -m	...	рn

Построенный закон распределения дискретной случайной вели­чины X называют законом биномиального распределения.

Найдем М(Х). Очевидно, что Х _i — число появлений события А в каждом испытании — представляет собой случайную величину со следующим распределением:

Поэтому М(X _i ) = 0× q+ 1× р = р. Но так как X = Х ₁ +... +Х _n, то М(X) =np.

Найдем далее D(Х) и s(Х). Так как величина X _i² имеет распределение

то М(X _i² ) = 0²× q+ 1²× р = р. Поэтому D(X _i ) = М(X _i² ) - М ² (X _i ) = р - p ² = р (1- p)= pq.

Наконец, в силу независимости величин Х ₁, Х₂,..., Х_n,

D(X) = D(X ₁ ) + D(X ₂ ) + ... + D(X _n ) = npq.

Отсюда s(Х) =

Пример 9.13. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба при каждом бросании монеты р= ½.Следовательно, вероятность непоявления герба q =1 - ½ = ½. Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и р = ½.Поэтому

М(X) =np =100×½=50; D(X) = npq =100×½×½=25; s(Х) = = =5.

Пример 9.14. Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?

Решение. Это пример биномиального распределения при n =20 и р= 0,4. Ожидаемое число есть М(Х) - пр = 20×0,4 = 8.