Относительно формы связи различают следующие виды

1. Линейная – когда связи между изучаемыми явлениями носят линейный характер и выражены линейной функцией. Уравнение регрессии имеет вид:

2. Криволинейная корреляция и регрессия – когда между исследуемыми явлениями существуют нелинейные соотношения и связь выражается нелинейной функцией.

Процесс нахождения теоретической линии регрессии заключается в выборе и обосновании типа кривой, в расчете параметров ее уравнения. Для выбора и обоснования типа линии нет универсального метода. Существует несколько путей решения задачи: теоретический, эмпирический, а также опыт предыдущих исследований.

Определить тип уравнения регрессии можно, исследуя зависимость графически, однако существуют и другие приемы, позволяющие выявить тип уравнения связи. Так, если результативный и факторный признаки возрастают примерно одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная; если же один признак увеличивается, а другой неравномерно уменьшается, – связь гиперболическая. Если с увеличением значений фактора результативный признак сначала растет, а потом снижается, то связь параболическая, и т. д.

Задача заключается в том, чтобы найти такие коэффициенты уравнения регрессии, чтобы ошибка была минимальной. Это достигается путем применения метода наименьших квадратов. Для нахождения значений неизвестных параметров приравняем частные производные по этим параметрам к нулю и после простейших преобразований получим систему уравнений.

Пусть связь между результатом и фактором выражается уравнением параболы второго порядка:

Y = a + b₁ x+b₂ x², (1.36)

Миниминизируя сумму квадратов отклонений переменной от ее значений по уравнению, получим:

Для этого берутся частные производные Q по параметрам «а» и «b», которые приравниваются к нулю, и полученная система уравнений решается относительно параметров:

Проделав простейшие преобразования, получим систему из трех уравнений:

Далее задача сводится к решению этой системы нормальных уравнений.

Применим этот метод для определения степени влияния сроков посева на урожайность. Для расчетов используем табл. 12, из которой возьмем следующие данные: сроки посева и средние значения урожайности для каждого срока посева.

Таблица 12

Порядковые номера сроков посева можно рассматривать как кодированные значения Х. Причем

Средняя урожайность представлена таблицей значений:

Y₁ = 16; Y₂ = 18; Y₃ = 18; Y₄ = 17; Y₅ = 15;

Теперь задача сводится к построению зависимости: Y = f(x).

Исходные данные для расчета зависимости Y = f(x) представлены в табл. 13.

Из табл. 13 видно, что с изменением сроков посева средняя урожайность сначала растет, а затем падает. Следовательно, существуют оптимальные сроки посева, при которых средняя урожайность максимальна.

Подобный процесс целесообразно описать уравнением параболы 2/го порядка:

Таблица 13

Y = a + b₁x + b₂ x²,

где a, b₁, b₂ – параметры, подлежащие определению.

Для нахождения параметров a, b₁ и b₂ необходимо решить систему нормальных уравнений.

Известно, что экстремальные точки функции Y = f (x) определяются из условия Y = f (x), где Y' – первая производная функции Y по переменной x.

Для выбранного вида функции:

Y = (a + b₁x + b₂ x²) = b₁ + 2b₂ x.

Откуда

Подставляя из табл. 13 значения (X_i Y) в систему нормальных уравнений, получим:

5a + 15b₁ + 55b– = 84;

15a + 55b₁ + 225b₂ = 249; (I)

55a + 225b₁ + 979b₂ = 897.

Система решается следующим образом:

1. Все уравнения делятся на коэффициенты при «а»:

a + 3b₁ + 11b₂ = 16,8;

a + 3,67b₁ + 15b₂ = 16,8;

a + 4,09b₁ + 17,8b₂ = 16,3.

2. Из первого уравнения вычитается сначала 2/е, а затем 3/е. В результате получается система уравнений с двумя неизвестными:

– 0,67b₁, – 4b₂ = +0,2; (II)

– 1,09b₁ – 6,8b₂ = +0,5.

3. Повторяем процедуру 1 и 2 и получаем:

0,24b₂ = -0,16,

откуда b₂ = -0,64.

Подставляя в любые уравнения системы II, например в первое, значение: b₂ = -0,64, найдем b₁ = +3,54.

Из первого уравнения системы I находим:

a = 13,22.

Таким образом, уравнение, выражающее связь сроков посевов с урожайностью, будет иметь вид:

Y = 13,22 + 3,54x – 0,64x²

Оптимальный срок посева будет равен х_опт = 2,8, что соответствует периоду с 10 по 20 мая.

Существует много методов решения системы нормальных уравнений, в частности, целесообразно решать систему нормальных уравнений обычными методами линейной алгебры.

До сих пор речь шла о том, что на результативный признак действует один факторный признак, и в зависимости от этого мы строили все свои расчеты. На самом деле все обстоит гораздо сложнее. На результативный признак действует множество случайных факторов, и перед нами возникает новая задача – найти модель наблюдаемого процесса, адекватно отражающую сам процесс, определить, как и в какой степени на результаты наблюдения воздействуют выбранные факторы. Эта задача чрезвычайно важна, так как именно она позволяет правильно оценить с определенной заданной вероятностью место и роль наблюдаемого явления в решении конкретных народно-хозяйственных задач.

Наиболее часто на практике наблюдаемый процесс описывается линейной многофакторной моделью:

Y = a + b₁x₁ + b₂ х₂ +… + b_kx_k, (1.37)

гдеx₁x₂ … x_k – значения факторов; a, b₁, b₂, b_k – параметры модели.

Что же такое модель? Как ее объяснить? Обычно стараются для наглядности все процессы интерпретировать геометрически. Попробуем подойти к многофакторной модели именно с такой позиции.

Совершенно очевидно, что однофакторный процесс является частным случаем многофакторного уравнения. Модели Y = f (?) представляют собой множество кривых различного рода на плоскости. Если рассматривать модель вида Y = a + bx, то это будет множество прямых на плоскости. Внося в рассмотрение еще один фактор, мы получаем уравнение вида Y = f (x₁, x₂) или для линейной модели: Y = a + b₁x₁ + b₂x₂. Это уже будет множество положений плоскости в трехмерном пространстве. Для трех факторов мы уже не можем дать геометрического толкования модели. Однако в целях обобщения можно считать, что линейная модель Y = a + b₁ x₁ + b₂x₂ +...b_kx_k представляет собой «гиперплоскость» в (k + 1) – мерном пространстве.

Рекомендуется всегда предварительно изучить форму и степень связи между результативным и всеми выбранными факторами попарно. Если все попарные связи линейны или близки к линейным, то есть все основания полагать, что и множественная связь будет линейной.

Схема корреляционно-регрессионного анализа подразумевает следующие шаги:

1. определение связи между изучаемыми признаками;

2. формирование уравнения регрессии;

3. расчет показателей связи.

Чтобы отобрать факторы, оказывающие существенное влияние на результативный признак, необходимо произвести группировку по нему. Из всех факторов необходимо отобрать те, которые наиболее связаны с результативным признаком.

Так, например, при изучении влияния основных экономических факторов на себестоимость молока необходимо произвести группировку хозяйств по себестоимости 1 ц молока, взяв в качестве факторных признаков:

1. уровень кормления;

2. стоимость 1 ц кормовых единиц (корм. ед.);

3. уровень оплаты труда;

4. уровень специализации хозяйств на производстве молока и т. п.

Для установления формы связи необходимо построить графики попарной зависимости выбранных факторов с результативным признаком (в нашем случае это себестоимость). В случае прямолинейной зависимости или близкой к таковой между всеми факторами и результатом следует использовать уравнение регрессии линейного типа:

Y=a+b₁x₁ + b₂ x₂ + „. + b_kx_k,

где x₁ x₂ … x_k – выбранные факторы; b₁ b₂ … b_k – коэффициенты регрессии, определяющие степень среднего изменения значений зависимой переменной Y при изменении фактора на единицу, но при условии, что остальные факторы, включенные в уравнение, остаются постоянными.