Основные законы аэродинамики

Движение воздуха в шахтах подчиняется тем же основным законам, что и остальные физические явления материального мира, а именно: закону сохранения массы и закону сохранения энергии. Эти фундаментальные законы природы, примененные к движению воздуха в горных выработках, определяют основные характеристики шахтных вентиляционных потоков. К этому следует добавить второй закон Ньютона или закон количества движения, позволяющий получить уравнение движения воздуха, связывающее основные характеризующие движение величины.

Закон сохранения массы. Закон сохранения массы применительно к движению воздуха можно сформулировать следующим образом: масса любого объема воздуха остается постоянной в процессе его движения. Иными словами, изменение массы во времени равно нулю.

Если в потоке воздуха выделить элементарный объем w, достаточно малый, чтобы плотность воздуха в нем r можно было считать постоянной, то закон сохранения массы можно представить:

, (10.20)

где rw - масса выделенного объема;

t – время.

Уравнение (10.20) можно преобразовать через проекции скорости потока в рассматриваемой точке:

, (10.21)

где u, u, w – проекции скорости потока в точке на оси координат.

Уравнение (10.21) называется уравнением неразрывности.

Для стационарного движения, при котором характеристики потока в некоторой фиксированной точке пространства (плотность, скорость, давление и др.) не изменяются во времени, и уравнение неразрывности будет:

, (10.22)

а при r = const:

(10.23)

В выработке постоянного сечения u=w= 0 и из (10.23) имеем u =const, т.е. скорости воздуха в сходственных точках постоянны.

Из уравнения (10.23) следует, что в однородном по плотности потоке увеличение скорости в одном направлении должно вызывать соответствующее уменьшение ее в другом направлении. Например, при переходе потока из узкой выработки в широкую, в общем случае, появляется составляющая скорости u, которая в узкой выработке была равна нулю (рис.10.1). Следовательно, а (w= 0 в обеих выработках), т.е. в расширяющейся части выработки продольная скорость u уменьшается.

w =0 y

u=w =0

u u

0 x

Рисунок 10.1 – Изменение скорости воздуха при расширении

потока

Из уравнения неразрывности (10.20) для изотермического потока следует уравнение расхода:

u ₁·S₁ =u ₂·S₂, (10.24)

где S₁и S₂ – площади начального и конечного сечений элементарной

струйки потока;

u ₁и u ₂- скорости движения воздуха через эти сечения.

Интегрируя правую и левую части уравнения (10.24) по всему сечению выработки, получим:

Q₁=Q₂, (10.25)

т. е. объемный расход воздуха в выработке является величиной постоянной. Уравнение (10.25) не соблюдается при разветвлении струй и утечках воздуха из выработки, а для неизотермических потоков вместо него следует написать

М₁=М₂, (10.25а)

где М₁, М₂- массовые расходы воздуха.

Закон сохранения энергии. Для случая движения воздуха закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом: изменение энергии произвольного объема воздуха за некоторый промежуток времени при его движении равно сумме количества сообщенного ему тепла и работы приложенных к объему внешних сил за то же время, т.е.

DЕ_вн+DЕ_п+DЕ_к=J·DQ+DA, (10.26)

где DЕ_вн - изменение внутренней энергии данного объема воздуха, оп-

ределяемой кинетической энергией движения молекул и по-

тенциальной энергией их взаимодействия;

DЕ_n - изменение потенциальной энергии этого объема, опреде-

ляемого его перемещением по вертикали;

DЕ_к- изменение кинетической энергии объема;

J - механический эквивалент тепла;

DQ - количество тепла, полученное (отданное) данным объемом

воздуха;

DА - работа внешних сил.

Внешними силами при движении воздуха по выработке являются силы трения о стенки и силы статического давления, приложенные к поверхности рассматриваемого объема.

В случае адиабатического движения несжимаемой жидкости, которой можно считать воздух, при существующих в шахте давлениях DЕ_вн=DQ = 0. При этих условиях для установившегося движения элементарной струйки воздуха соотношение (10.26) может быть записано в виде:

(10.27)

где g - удельный вес воздуха;

p - давление воздуха;

z- аппликата центра тяжести сечения струйки относительно про-

извольной горизонтальной плоскости сравнения;

u - скорость воздуха в рассматриваемом сечении струйки;

h - работа внешних сил, отнесенная к единице веса воздуха.

Уравнение (10.27) называется уравнением Бернулли в дифференцированной форме (по имени русского ученого Даниила Бернулли, впервые получившего это соотношение в 1738 г.).

Интегрируя выражение (10.27) вдоль струйки от сечения I до сечения II (рис. 10.2) при g = const, получим:

(10.28)